求数列通项公式的八种方法

求数列通项公式的八种方法一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法1、累加法适用于：1()nnaafn若1()nnaafn(2)n，则21321(1)(2)()nnaafaafaafn两边分别相加得111()nnkaafn例1已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。例2已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan解法二：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(13)2(1)2113133133223nnnnnann，则21133.322nnnan2、累乘法适用于：1()nnafna若1()nnafna，则31212(1)(2)()nnaaafffnaaa，，，两边分别相乘得，1111()nnkaafka例3已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn所以数列{}na的通项公式为(1)12325!.nnnnan三、待定系数法适用于1()nnaqafn分析：通过凑配可转化为1121()[()]nnafnafn;解题基本步骤：1、确定()fn2、设等比数列1()nafn，公比为23、列出关系式1121()[()]nnafnafn4、比较系数求1，25、解得数列1()nafn的通项公式6、解得数列na的通项公式例4已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解法一：121(2),nnaan112(1)nnaa又112,1naa是首项为2，公比为2的等比数列12nna，即21nna解法二：121(2),nnaan121nnaa两式相减得112()(2)nnnnaaaan，故数列1nnaa是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……例5已知数列{}na满足1112431nnnaaa，，求数列na的通项公式。解法一：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，则数列143nna是首项为111435a，公比为2的等比数列，所以114352nnna，即114352nnna解法二：两边同时除以13n得：112243333nnnnaa，下面解法略注意：例6已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz比较系数得3,10,18xyz，所以2213(1)10(1)182(31018)nnannann由213110118131320a，得2310180nann则2123(1)10(1)18231018nnannann，故数列2{31018}nann为以21311011813132a为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。注意：形如21nnnapaqa时将na作为()fn求解分析：原递推式可化为211()()nnnnaapaa的形式，比较系数可求得，数列1nnaa为等比数列。例7已知数列{}na满足211256,1,2nnnaaaaa，求数列{}na的通项公式。解：设211(5)()nnnnaaaa比较系数得3或2，不妨取2，则21123(2)nnnnaaaa，则12nnaa是首项为4，公比为3的等比数列11243nnnaa，所以114352nnna四、迭代法例8已知数列{}na满足3(1)2115nnnnaaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以1212(2)(1)32(2)(1)3(3)(2)(1)112(3)(323(1)2323(1)21223(2)23(1)233(2)(1)23323(2)(1)21[][]nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaa2)(1)(1)123!21nnnnna又15a，所以数列{}na的通项公式为(1)123!25nnnnna。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例9已知数列{}na满足5123nnnaa，17a，求数列{}na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，，所以100nnaa，。两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan设1lg(1)5(lg)nnaxnyaxny（同类型四）比较系数得，lg3lg3lg2,4164xy由1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a，得lg3lg3lg2lg04164nan，所以数列lg3lg3lg2{lg}4164nan是以lg3lg3lg2lg74164为首项，以5为公比的等比数列，则1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)541644164nnan，因此11111111116164444111115161644445415151164lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)lg(332)lg(732)nnnnnnnnnnan则11541515164732nnnnna。2、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例10已知数列{}na满足112,12nnnaaaa，求数列{}na的通项公式。解：求倒数得11111111111,,22nnnnnnaaaaaa为等差数列，首项111a，公差为12，112(1),21nnnaan3、换元法适用于含根式的递推关系例11已知数列{}na满足111(14124)116nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。解：令124nnba，则21(1)24nnab代入11(14124)16nnnaaa得221111(1)[14(1)]241624nnnbbb即2214(3)nnbb因为1240nnba，则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以{3}nb是以1131243124132ba为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22nnnb，则21()32nnb，即21124()32nna，得2111()()3423nnna。六、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例12已知数列{}na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，，求数列{}na的通项公式。解：由1228(1)(21)(23)nnnaann及189a，得2122322243228(11)88224(211)(213)9925258(21)248348(221)(223)252549498(31)488480(231)(233)49498181aaaaaa由此可猜测22(21)1(21)nnan，下面用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n时，212(211)18(211)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，12222222222222228(1)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]kkkaakkkkkkkkkkkkkkkk由此可知，当1nk时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*nN都成立。七、阶差法1、递推公式中既有nS，又有na分析：把已知关系通过11,1,2nnnSnaSSn转化为数列na或nS的递推关系，然后采用相应的方法求解。例13已知数列{}na的各项均为正数，且前n项和nS满足1(1)(2)6nnnSaa，且249,,aaa成等比数列，求数列{}na的通项公式。解：∵对任意nN有1(1)(2)6nnnSaa⑴∴当n=1时，11111(1)(2)6Saaa，解得11a或12a当n≥2时，1111(1)(2)6nnnSaa⑵⑴-⑵整理得：11()(3)0nnnnaaaa∵{}na各项均为正数，∴13nnaa当11a时，32nan，此时2429aaa成立当12a时，31nan，此时2429aaa不成立，故12a舍去所以32nan2、对无穷递推数列例14已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaa