等比数列前n项和公式和性质

细节决定成败态度决定一切复习:等比数列{an}an+1an=q(定值)(1)等比数列:(2)通项公式:an=a1•qn-1(4)重要性质:n-man=am•qm+n=p+qan•aq•am=ap注:以上m,n,p,q均为自然数成等比数列(3)bGa,,)0(,2ababG).0,0(1qa引入：印度国际象棋发明者的故事（西萨）引入新课它是以１为首项公比是２的等比数列，64S236312222.分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：麦粒的总数为:23631,2,2,2,,2.64S236312222.(1)请同学们考虑如何求出这个和？642S23632(12222).642S即23636422222.(2)64642SS23463(122222)…2346364(222222)230-1=1073741823646421S这种求和的方法,就是错位相减法!191.841018446744073709551615如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明者的要求的。如何求等比数列的Sn:nnnaaaaaS132111212111nnnqaqaqaqaaSnnnqaqaqaqaqaqS11131211①②①—②，得nnqaaSq1100)1(nnqaaSq11)1(错位相减法qqaaqqaaSnnn11111:1时q1.使用公式求和时，需注意对和的情况加以讨论；1q1q2.推导公式的方法：错位相减法。注意：显然，当q=1时，1naSn,11111qqaaqqannnS,1na(q=1).(q≠1).{等比数列的前n项和表述为：)1()1(1)1(11qnaqqqaSnn已知a1、n、q时已知a1、an、q时)1()1(111qnaqqqaaSnn等比数列的前n项和公式知三求二前n项和公式：两个公式共有5个基本量:可知“三求二”.通项公式：11nnaaq)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnnnnSanqa，，，，1知识回顾：填表数列等差数列等比数列前n项和公式推导方法21nnaanSdnnna211qqann111Sqqaan111q【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑.倒序相加错位相减公比是否为1探究1：1.前n项和公式的函数特征：当q=1时的正比例函数是nnaSn110,-,-1-1--1q-1)q-(112111n1qAAAqSqaAqqaqaaSqnnnn，其中数的和是一个指数式与一个常即记时，）当（性质1：等比数列前n项和的性质一：)0(AAAqSnn-是等比数列数列}{na练习1：若等比数列{an}中，Sn＝m·3n＋1，则实数m＝__________.-1的值。，求项和的前、若等比数列aaSnannn2311}{61aaSnn2331化简到：0231a例1、求下列等比数列前8项的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa解：时所以当8n256255211211218nS:,2431,2791可得由aa)2(8272431q)1(因为21,211qa可得：又由,0q31q时于是当8n811640)31(1311278nS:a2n量中，求满足下列条件的、在等比数列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.341,512,1)3(1nsaa求,2)1(31解：21,5,2)2(1anq得：代入qqasqaannnn11,11182214415qaa2311221212121555s可得代入将qqaannnnSSaa111341,512,1)3(2.1)512(1341qqq解得：10)2(1512,111nqaannn解得：所以因为112)1(231qqaa即nnaSqn222211，所以，，，时，数列为常数列当nqqannnSq)1(11)1(1])1(1[21)1(1时，当说明：选择适当的公式。并且要根据具体题意，中，只知三可求二，在五个变量nnSanqa,,,,1２.１.作为第一要素来考虑。的取值，应把它意在利用公式，一定要注q例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为5000台第2年产量为5000×(1+10%)=5000×1.1台第3年产量为5000×(1+10%)×(1+10%)台21.15000……第n年产量为台11.15000n则n年内的总产量为：121.151.151.155n•1．数列{2n－1}的前99项和为()•A．2100－1B．1－2100•C．299－1D．1－299解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×1－2991－2＝299－1.答案：C改为数列{2n-1}呢？•2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为()•A．4B．5•C．6D．7解析：an＝a1·qn－1＝96＝3·qn－1，∴qn－1＝32，Sn＝a1－anq1－q＝3－96q1－q＝189，1－32q1－q＝63.解得q＝2.∴n＝6.答案：C•3．已知等比数列{an}中，an0，n＝1,2,3，…，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为________．解析：易求得q＝2，a1＝1.∴S5＝1－251－2＝31.答案：31•4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于________．解析：设等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n－1.易知等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝1，∴an＝2n－1，于是an2＝4n－1，∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)答案：13(4n－1)•5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．解析：①当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件；②当q≠1时，a11－q31－q＝3a1q2，因为a1≠0，所以1－q3＝3q2(1－q)，因为q≠1，所以1－q≠0，化简得1＋q＋q2＝3q2，解得q＝－12或q＝1(舍)综上，q的值为1或－12.我们知道，等差数列有这样的性质：也成等差数列。则为等差数列如果kkkkknSSSSSa232,,，等比数列前n项和的性质二：232nkkkkkaS,SS,SS如果为等比数列也成等比数列.，kkSq.新等比数列首项为公比为，,项和的前是等比数列已知naSnn.15,52010SS且;).1(30S求20301020,10,).2(SSSSS问是否成等比数列?35探究2：Sn为等比数列的前n项和，Sn≠0，则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n是等比数列．性质2：•已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又S10＝10，S20＝30，∴S30－S20＝S30－30＝30－10210，即S30＝70.的值。求，，，若项和为的前、等比数列mmmnnSSSSna3230102}{703mS解得：成等比数列，，mmmmmSSSSS232--)()(2322mmmmmSSSSS--)30(10)1030(32--mS即：解：•[题后感悟]等比数列前n项和的常用性质：•(1)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列．•各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()•A．80B．30•C．26D．16•解析：∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列•∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)•∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6•又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)•∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)•∴S4n＝30.故选B.1234910111217181920naaaaaaaaaaaaa2:已知等比数列,+++=4,+++=16,求+++的值.:,naq解设等比数列为8910111212348,4.aaaaaaaaqq++++++8171819209101112()64.aaaaaaaaq++++++练习2：7063(1)等比数列中，S10＝10，S20＝30，则S30＝_______.(2)等比数列中，Sn＝48，S2n＝60，则S3n＝_______.的值。求，若，项和为的前例：等比数列101551013231,1}{SSSSaSnann解：3231510SS)0(32,31510kkSkS设成等比数列，，10155105SSSSS--)()(101552510SSSSS--kS3299315解得：)31(32)3231(152kSkkk--即：9929931015SS探究3：在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和，.SS偶奇则q性质3：等比数列前n项和的性质三：项，则：共有若等比数列nan22221222111,,11.nnaqaqSSqqSaqSa偶奇偶奇推导过程:•已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数．•由题目可获取以下主要信息：•①等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列；•②当项数为2n时，S偶∶S奇＝q.•解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解．•②÷①，得q＝2，代入①得22n＝256，•解得2n＝8，所以这个数列共8项，公比为2.[解题过程]设此等比数列共2n项，公比为q.由于S奇≠S偶，∴q≠1.由于奇数项依次组成以a1为首项，以q2为公比的等比数列，故所有奇数项之和为S奇＝a11－q2n1－q2＝85①同理可得所有偶数项之和为S偶＝a21－q2n1－q2＝170②。项和为的前则，且的公比为、若等比数列100,603149931}{}{nnaaaaa8031qXYn项和性质知：由等比数列前解：609931aaaX令10042aaaYYXS100则20Y80100YXS即：5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？提示：285170奇偶SSq25585170奇偶SSSn项和公式得：由等比数列前n2121255-n8n•4.等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求该数列的公比q.解析：由题意知S奇＝S偶＋80，