数学物理方程-第六章练习题

.......广义解与广义函数解齐海涛山东大学（威海）数学与统计学院[e-mail]齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-31/55目录...1广义解...2广义函数的概念...3广义函数的性质与运算...4广义函数的傅里叶变换...5基本解齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-32/55...1广义解...2广义函数的概念...3广义函数的性质与运算...4广义函数的傅里叶变换...5基本解齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/55广义解.Example1.1........试写出热传导方程柯西问题与初边值问题的强解的定义.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/55广义解.Example1.1........试写出热传导方程柯西问题与初边值问题的强解的定义.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/55广义解齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-34/55广义解.Example1.2........证明波动方程的经典解一定是强解,也一定是弱解.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35/55广义解.Example1.2........证明波动方程的经典解一定是强解,也一定是弱解.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35/55广义解齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-36/55广义解.Example1.3........证明波动方程的弱解如果是二阶连续可导函数,则它必定也是经典解.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-37/55广义解.Example1.3........证明波动方程的弱解如果是二阶连续可导函数,则它必定也是经典解.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-37/55广义解齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-38/55...1广义解...2广义函数的概念...3广义函数的性质与运算...4广义函数的傅里叶变换...5基本解齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-39/55广义函数的概念.Example2.1........证明:若φν(x)∈C∞c(Rnx),ψ(y)∈C∞c(Rmy),则φν(x)ψ(y)∈C∞c(Rnx×Rmy),且当φν(x)→0(C∞c(Rnx))时,φν(x)ψ(y)→0(C∞c(Rnx×Rmy)).解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-39/55广义函数的概念.Example2.1........证明:若φν(x)∈C∞c(Rnx),ψ(y)∈C∞c(Rmy),则φν(x)ψ(y)∈C∞c(Rnx×Rmy),且当φν(x)→0(C∞c(Rnx))时,φν(x)ψ(y)→0(C∞c(Rnx×Rmy)).解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-39/55广义函数的概念齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-310/55广义函数的概念.Example2.2........证明在本节例3中引入的βR(x)为C∞函数.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311/55广义函数的概念.Example2.2........证明在本节例3中引入的βR(x)为C∞函数.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311/55广义函数的概念齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-312/55广义函数的概念.Example2.3...........1证明C∞(Rn)在Lp(Rn)中稠密....2证明C∞c(Ω)在Lp(Ω)中稠密.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313/55广义函数的概念.Example2.3...........1证明C∞(Rn)在Lp(Rn)中稠密....2证明C∞c(Ω)在Lp(Ω)中稠密.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313/55广义函数的概念齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-314/55广义函数的概念.Example2.4........若P(x),Q(x)为常系数多项式,Q(∂)为将Q(x)中的xi用∂∂xi代替后所得到的偏微分算子,则下列条件等价:...1φ(x)∈S(Rn),...2P(x)Q(∂)φ(x)∈S(Rn),...3Q(∂)(P(x)φ(x))∈S(Rn).解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-315/55广义函数的概念.Example2.4........若P(x),Q(x)为常系数多项式,Q(∂)为将Q(x)中的xi用∂∂xi代替后所得到的偏微分算子,则下列条件等价:...1φ(x)∈S(Rn),...2P(x)Q(∂)φ(x)∈S(Rn),...3Q(∂)(P(x)φ(x))∈S(Rn).解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-315/55广义函数的概念齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-316/55广义函数的概念.Example2.5........同第4题的记号,试证ν→∞时下列命题等价:...1φν(x)→0(S(Rn)),...2对任意给定的P(x),Q(x),P(x)Q(∂)φν(x)→0在Rn上一致成立,...3对任意给定的P(x),Q(x),Q(∂)(P(x)φν(x))→0在Rn上一致成立.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-317/55广义函数的概念.Example2.5........同第4题的记号,试证ν→∞时下列命题等价:...1φν(x)→0(S(Rn)),...2对任意给定的P(x),Q(x),P(x)Q(∂)φν(x)→0在Rn上一致成立,...3对任意给定的P(x),Q(x),Q(∂)(P(x)φν(x))→0在Rn上一致成立.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-317/55广义函数的概念齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-318/55广义函数的概念.Example2.6........证明:若f(x)∈Lp(Rn),则它是一个S′广义函数.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-319/55广义函数的概念.Example2.6........证明:若f(x)∈Lp(Rn),则它是一个S′广义函数.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-319/55广义函数的概念齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-320/55广义函数的概念.Example2.7........判断下列一元函数属于那些广义函数空间?(1)sinx;(2)x;(3)ex2;(4)f(x)={1,|x|≤1,0,x1.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-321/55广义函数的概念.Example2.7........判断下列一元函数属于那些广义函数空间?(1)sinx;(2)x;(3)ex2;(4)f(x)={1,|x|≤1,0,x1.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-321/55广义函数的概念齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-322/55...1广义解...2广义函数的概念...3广义函数的性质与运算...4广义函数的傅里叶变换...5基本解齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-323/55广义函数的性质与运算.Example3.1........将在第一象限中为1,其外为0的二元函数T视为广义函数,求∂T∂x,∂T∂y及∂2T∂x∂y.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-323/55广义函数的性质与运算.Example3.1........将在第一象限中为1,其外为0的二元函数T视为广义函数,求∂T∂x,∂T∂y及∂2T∂x∂y.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-323/55广义函数的性质与运算齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-324/55广义函数的性质与运算.Example3.2........证明:若T为D′广义函数,α为D′(Rn)的乘子,则∂j(αT)=∂jα·T+α·∂jT.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-325/55广义函数的性质与运算.Example3.2........证明:若T为D′广义函数,α为D′(Rn)的乘子,则∂j(αT)=∂jα·T+α·∂jT.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-325/55广义函数的性质与运算齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-326/55广义函数的性质与运算.Example3.3........设f(x)={x2,x≥1,x,x1,试求dfdx,d2fdx2及d3fdx3.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-327/55广义函数的性质与运算.Example3.3........设f(x)={x2,x≥1,x,x1,试求dfdx,d2fdx2及d3fdx3.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-327/55广义函数的性质与运算齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-328/55广义函数的性质与运算.Example3.4........用⟨∂T∂xk,φ⟩=−⟨T,∂φ∂xk⟩,∀φ∈S(Rn)来定义S′(Rn)上的广义函数的导数.试证∂∂xk是S′(Rn)上的一个线性连续映射.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-329/55广义函数的性质与运算.Example3.4........用⟨∂T∂xk,φ⟩=−⟨T,∂φ∂xk⟩,∀φ∈S(Rn)来定义S′(Rn)上的广义函数的导数.试证∂∂xk是S′(Rn)上的一个线性连续映射.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-329/55广义函数的性质与运算齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-330/55广义函数的性质与运算.Example3.5........若α(x)∈C∞c(Rn),证明α(x)δ(x)=α(0)δ(x).解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-331/55广义函数的性质与运算.Example3.5........若α(x)∈C∞c(Rn),证明α(x)δ(x)=α(0)δ(x).解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-331/55广义函数的性质与运算齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-332/55广义函数的性质与运算.Example3.6........若αε(x)为上节例2中定义的函数,试证...1若φ(x)∈C∞(Rn),则αε∗φ→φ(C∞(Rn))....2若φ(x)∈C∞c(Rn),则αε∗φ→φ(C∞c(Rn)).解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-333/55广义函数的性质与运算.Example3.6........若αε(x)为上节例2中定义的函数,试证...1若φ(x)∈C∞(Rn),则αε∗φ→φ(C∞(Rn))....2若φ(x)∈C∞c(Rn),则αε∗φ→φ(C∞c(Rn)).解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-333/55广义函数的性质与运算齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-334/55广义函数的性质与运算.Example3.7........设αε(x)为上节例2中定义的函数,试证当ε→0时,αε(x)弱收敛于δ(x).解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-335/55广义函数的性质与运算.Example3.7........设αε(x)为上节例2中定义的函数,试证当ε→0时,αε(x)弱收敛于δ(x).解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-335/55广义函数的性质与运算齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-336/55广义函数的性质与运算.Example3.8........试证下列函数作为广义函数弱收敛于δ(x):(1)(4πt)−12exp(−x24t)(t→0),(2)1παα2+x2(α→0).解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-337/55广义函数的性质与运算.Example3.8........试证下列函数作为广义函数弱收敛