史上最详细的平面曲线的弧长公式计算(微积分)

7.4平面曲线的弧长小结思考题作业弧长的概念直角坐标情形参数方程情形7.4平面曲线的弧长极坐标情形7.4平面曲线的弧长2,0MA设A、B是曲线在弧上插入分点依次用弦将记每条弦的长度为折线长度的极限如果当分点无限增加,,||lim110存在iniiMM弧长(长度).,,1nM弧上的两个端点,光滑曲线弧是可求长.OxyAB0MnM1M2MiM1nM则称此极限为曲线弧AB的,,,1iMM,BMn相邻两点联结起来,得到一条内接折线.,,,2,1|,|1niMMii.||max11iiniMM令,0时且一、平面曲线弧长的概念7.4平面曲线的弧长3xoyabxxxdyd22)d()d(yxxyd12弧长元素,d1d2xys弧长.d12xysba小切线段的长为:弧段的长,)(xfy设曲线弧为y=f(x)),(bxa其中f(x)在[a,b]上有一阶连续导数.取积分变量为x,任取小区间],d,[xxxxd在[a,b]上二、直角坐标情形现在计算这曲线弧的长度.(弧微分)以对应小切线段的长代替小7.4平面曲线的弧长4解2)(1y所求弧长为xaxsdchaxaayaxaxch)ee(2bxbx与,chaxayaxyshxaxbdch20.sh2sh20abaaxab2sh1axaxch例xysbad12bb悬链线方程计算介于之间一段弧长度.xyObbaxxsh)ch(Cxxxshdch7.4平面曲线的弧长5解nxnysin,sinnxsxnxndsin1π0tntdsin1tttttnd2cos2sin22cos2sinπ022tttnd2cos2sinπ0.4nntx例xysbad12计算曲线的弧长dsin0nynxtnxdd0π00πnπn1).π0(nx7.4平面曲线的弧长6曲线弧为)(),(tytx)(t22)d()d(dyxstttd)()(22弧长.d)()(22ttts其中)(),(tt在[a,b]上具有连续导数.三、参数方程情形现在计算这曲线弧的长度.取参数t为积分变量,其变化区间为].,[对应于],[上任一小区间]d,[ttt的小弧段的长度的近似值,即弧长元素为7.4平面曲线的弧长7解星形线的参数方程为taytax33sincos)π20(t对称性14sstyxd)()(422tttadcossin342π0.6a第一象限部分的弧长tttsd)()(2202π例求星形线的全长.323232ayx)0(aaaOxyaa7.4平面曲线的弧长8证xysd12π021xxadcos12π022设正弦线的弧长等于s1设椭圆的周长为s2tyxsd)()(2π0222证明正弦线例的弧长)π20(sinxxay等于椭圆的周长.)π20(sin1cos2ttaytx对称性ttatd))(cos1()(sin2π0222ttadcos12π022xxadcos12π022.1s7.4平面曲线的弧长9曲线弧为)()(rrsincosryrx)(22)d()d(dyxsd)()(22rr弧长.d)()(22rrs具有连续导数.上在其中],[)(rsin)(cos)(ryrx四、极坐标情形现在计算这曲线弧的长度.由直角坐标与极坐标的关系：弧长元素为为参数的参数方程7.4平面曲线的弧长10)0(a)π30(解d)()(22rrsd3cos3sin3sinπ3024262aad3sinπ302a.π23ad)()(22rrs求极坐标系下曲线例33sinar的长.3cos3sin2a23sin3ar3cos317.4平面曲线的弧长11解d)()(22rrsdπ20222aad1π202a求阿基米德螺线上相应于)0(aar.π20的弧长到从例xaxd22Caxxaaxx||ln2222222)].π41π2ln(π41π2[222axaπ2o7.4平面曲线的弧长12平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下求弧长的公式四、小结7.4平面曲线的弧长13思考题解答仅仅有曲线连续还不够,不一定.必须保证曲线光滑才可求长.闭区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)是否一定可求长?