新教材高中数学等式性质与不等式性质讲义必修第一册

12.1等式性质与不等式性质最新课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．知识点一实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么ab；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab，反之也成立．2．符号表示a－b0⇔ab；a－b＝0⇔a＝b；a－b0⇔ab.状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性ab⇔ba可逆2传递性ab，bc⇒ac3可加性ab⇔a＋cb＋c可逆4可乘性}abc0⇒acbcc的符号}abc0⇒acbc5同向可加性abcd⇒a＋cb＋d同向6同向同正可乘性abcd0⇒acbd同向7可乘方性ab0⇒anbn(n∈N，n≥2)同正2状元随笔(1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋bc⇒ac－b.性质3是可逆性的，即ab⇔a＋cb＋c.(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．[教材解难]教材P40思考等式有下面的基本性质：性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.[基础自测]1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系()A．T40B．T40C．T≤40D．T≥40解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．答案：C2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．M＝NC．MND．与x有关解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝x＋122＋340，所以MN.答案：A3．已知xa0，则一定成立的不等式是()A．x2a20B．x2axa2C．x2ax0D．x2a2ax3解析：因为xa0，不等号两边同时乘a，则axa2；不等号两边同时乘x，则x2ax，故x2axa2.答案：B4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．解析：因为－1≤b≤2，所以－2≤－b≤1，又1≤a≤5，所以－1≤a－b≤6.答案：－1≤a－b≤6题型一比较大小[教材P38例1]例1比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．【解析】因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝20，所以(x＋2)(x＋3)(x＋1)(x＋4)．状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A．f(x)g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)g(x)D．随x值变化而变化解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋10，所以f(x)g(x)．故选C.4答案：C作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小题型二不等式的性质[经典例题]分析条件→利用不等式性质逐一判断例2对于实数a、b、c，有下列说法：①若ab，则acbc；②若ac2bc2，则ab；③若ab0，则a2abb2；④若cab0，则ac－abc－b；⑤若ab，1a1b，则a0，b0.其中正确的个数是()A．2B．3C．4D．5【解析】对于①，令c＝0，则有ac＝bc.①错．对于②，由ac2bc2，知c≠0，∴c20⇒ab.②对．对于③，由ab0，两边同乘以a得a2ab，两边同乘以b得abb2，∴a2abb2.③对．对于④，cab0⇒c－a0，c－b0ab⇒－a－b⇒c－ac－b⇒0c－ac－b⇒1c－a1c－b0ab0⇒ac－abc－b.④对．对于⑤，ab⇒a－b01a1b⇒b－aab0⇒ab0ab⇒a0，b0.⑤对．5故选C.答案：C方法归纳(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2(1)已知ab，那么下列式子中，错误的是()A.4a4bB．－4a－4bC．a＋4b＋4D．a－4b－4(2)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是()A．若ab，c≠0，则acbcB．若ab，则ac2bc2C．若ac2bc2，则abD．若ab，则1a1b解析：(1)根据不等式的性质，ab,40⇒4a4b，A项正确；ab，－40⇒－4a－4b，B项错误；ab⇒a＋4b＋4，C项正确；ab⇒a－4b－4，D项正确．利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．(2)对于选项A，当c0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2bc2，∴c≠0，∴c20，∴一定有ab.故选项C正确；对于选项D，当a0，b0时，不正确．答案：(1)B(2)C题型三利用不等式性质求范围[经典例题]例3已知－2a≤3,1≤b2，试求下列代数式的取值范围：(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.【解析】(1)|a|∈[0,3]；(2)－1a＋b5；(3)依题意得－2a≤3，－2－b≤－1，相加得－4a－b≤2；(4)由－2a≤3得－42a≤6①，由1≤b2得－6－3b≤－3②，由①②得，－102a－3b≤3.状元随笔运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向.6方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；(3)结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3已知实数x，y满足：1x2y3，(1)求xy的取值范围；(2)求x－2y的取值范围．解析：(1)∵1x2y3，∴1x2,2y3，则2xy6，则xy的取值范围是(2,6)．(2)由(1)知1x2,2y3，从而－6－2y－4，则－5x－2y－2，即x－2y的取值范围是(－5，－2)．状元随笔(1)根据不等式的性质6可直接求解；(2)求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x－2y的取值范围.课时作业7一、选择题1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是()A．A≤BB．A≥BC．AB或ABD．AB解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝a－b22＋34b2≥0，所以A≥B.答案：B2．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是()A．若ab，cb，则acB．若a－b，则c－ac＋bC．若ab，cd，则acbdD．若a2b2，则－a－b解析：选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如ab0，c0d时，不成立；选项D只有ab0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立．答案：B73．若－1αβ1，则下列各式中恒成立的是()A．－2α－β0B．－2α－β－1C．－1α－β0D．－1α－β1解析：∵－1β1，∴－1－β1.又－1α1，∴－2α＋(－β)2，又αβ，∴α－β0，即－2α－β0.故选A.答案：A4．有四个不等式：①|a||b|；②ab；③a＋bab；④a3b3.若1a1b0，则不正确的不等式的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：由1a1b0可得ba0，从而|a||b|，①不正确；ab，②不正确；a＋b0，ab0，则a＋bab成立，③正确；a3b3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.答案：C二、填空题5．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“”“”或“＝”)．解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－70，所以(a＋3)(a－5)(a＋2)(a－4)．答案：6．如果ab，那么c－2a与c－2b中较大的是________．解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)0.答案：c－2b7．给定下列命题：①ab⇒a2b2；②a2b2⇒ab；③ab⇒ba1；④ab，cd⇒acbd；⑤ab，cd⇒a－cb－d.其中错误的命题是________(填写相应序号)．解析：由性质7可知，只有当ab0时，a2b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a0且ab时，ba1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当ab0，cd0时，acbd才成立，故④错误；对于⑤，由cd得－d－c，从而a－db－c，故⑤错误．答案：①②③④⑤8三、解答题8．已知x1，比较x3－1与2x2－2x的大小．解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)·x－122＋34，因为x1，所以x－10，又因为x－122＋340，所以(x－1)x－122＋340，所以x3－12x2－2x.9．若bc－ad≥0，bd0.求证：a＋bb≤c＋dd.证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，因为bd0，所以ab≤cd，所以ab＋1≤cd＋1，所以a＋bb≤c＋dd.[尖子生题库]10．设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解析：方法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得m＋n＝4n－m＝－2，解得m＝3，n＝1∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故f(－2)的取值范围是[5,10]．方法二由f－1＝a－bf1＝a＋b，得a＝12[f－1＋f1]b＝12[f1－f－1]，9∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故f(－2)的取值范围是[5,10].