(上课用)等边三角形-复习课

等边三角形的定义等边三角形是特殊的等腰三角形，也叫正三角形。等腰三角形包括等边三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质。三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形的性质1.等边三角形的三个内角都相等,且等于60°2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.等边三角形的判定方法:1.三边相等的三角形是等边三角形.2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形.3.有两个内角等于60°的三角形是等边三角形.4.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.例1已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程……已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h作法：1、作PQ⊥MN，垂足为D2、在DM上截取DA=h3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ于点B、C4、连结AB、AC则△ABC为所求的三角形。ABCDahABCDMNhaPQ联想：此法对我们要有所启示。如知道一等腰三角形的底边和一腰上的高，你能画出这个等腰三角形吗？（通过画图可知只需画一个直角三角形（HL），再做斜边的垂直平分线就可以）例2.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?ＯＤ150°ＣaＥＦＨ已知△ABC中，AB＝BC＝CA，如果P是△ABC所在平面上的一点，且△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形，那么这样的点P的位置共有几个？试一一画出。ABC等边三角形·P1例3.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成２：１两部分，已知三角形底边长为５，求腰长？解：如图，令CD＝x，则AD＝x，AB＝2x∵底边BC＝5∴BC＋CD＝5＋xAB＋AD＝3x∴(5+x)：3x＝2:1或3x：(5+x)=2:1ＡＢＣＤxx2x5例4.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：△MDE是等腰三角形.BAEDMBC例4.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：△MDE是等腰三角形.分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。证明：连结CM∵∠C=90°，BC=AC∴∠A=∠B=45°∵M是AB的中点∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°∴∠B=∠MCE=∠MCB∴CM=MB（等角对等边）在△BDE和△CEM中∴△BDM≌△CEM（SAS）∴MD=ME∴△MDE是等腰三角形CMBMMCEBCEBDABCDEM例5.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，请说明△DEF也是等边三角形的理由.解：∵△ABC是等边三角形∴AC=BC，∠A=∠C∵CE=BD∴BC－BD=AC－CE∴CD=AE在△AEF和△CDE中∴△AEF≌△CDE（SAS）∴EF=DE同理可证EF=DF∴EF=DE=DF∴△DEF是等边三角形CEAFCACDAEABCDEF说明：证明等边三角形有三种思路：①证明三边相等②证明三角相等③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。例6.如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.请说明BP=2PQ的理由.思路在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°证明∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，∴△BAE≌△ACD∴∠ABE=∠CAD∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°又∵BQ⊥AD∴∠PBQ=30°∴BP=2PQ说明本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CFBACED123F分析：CD=CF∠1=∠2∠1=∠B+∠BAD∠2=∠3+∠DAC∠3=∠B∠1=90°－∠CAD∠２=90°－∠BAD∠ACB=90°，CE是AC边上高*已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点。就下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M、N的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论。测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______。①②③①②③前面例6与本题对我们的启示：（1）证明方法类似，图形也基本类似，这就告诉我们在平时做题过程中要注意将每一道题的思路要掌握好，并且基本图形也要有所了解，很可能它会在你解题中有所启发。（2）几何中好多题是互相联系的，出题人也是结合教材，考试内容不会脱离教学大纲的。（3）遇到这种从简单图形通过移动点的位置而使图形复杂的情况，一般情况下，前后的证明方法应是相同的。**在一次数学活动中，老师让同学们进行如下操作：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如左图）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如右图）.请解答以下问题：（1）如右图，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（1）△BMP是等边三形.…………………2分证明：连结AN∵EF垂直平分AB∴AN=BN由折叠知AB=BN∴AN=AB=BN∴△ABN为等边三角形∴∠ABN=60°∴∠PBN=30°…………3分又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°∴∠BPN=60°∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°∴∠BMP=60°∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°∴△BMP为等边三角形…………………………5分p***.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_________________（把你认为正确的序号都填上）。QPOBEDCA①②③⑤等边三角形的应用例.已知在四边形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝15°，∠CBD＝45°，∠CDB＝30°。求证△ABC是等边三角形。在正方形ABCD中有一点P，且有∠PAB＝∠PBA＝15°，求证△PCD是等边三角形。教材全解