立体几何-线面角与线线角

七彩教育网七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载本资料来源于《七彩教育网》线面角与线线角【知识网络】1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法；3、一些常见模型中的角之间的关系。【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCDABCD中，下列几种说法正确的是（）A、11ACADB、11DCABC、1AC与DC成45角D、11AC与1BC成60角答案：D。解析：A1C1与AD成45°，D1C1与AB平行，AC1与DC所成角的正切为22。（2）在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为（）A、2个B、4个C、6个D、8个答案：B。解析：平面A1ACC1，平面BB1D1D，平面ABC1D1，平面A1D1CC1。（3）正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是2，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（）A．90ºB．60ºC．45ºD．30º答案：B。解析将BC1平移到E1F即可。（4）在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD的位置关系是。答案：AC⊥BD。解析：过A作AH⊥平面BCD，垂足为H，因为CD⊥AB，BC⊥AD，所以CD⊥BH，BC⊥DH，故H为△BCD的垂心，从而BD⊥CH，可得BD⊥AC。（5）点AB到平面距离距离分别为12，20，若斜线AB与成030的角，则AB的长等于_____.答案：16或64。解析：分A、B在平面α的同侧和异侧进行讨论。例2：．如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论。七彩教育网七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载答案：（I）连结DF，DC∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影，在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，21DC＝21CC＋DC2＝10a2，21FC＝B1F2＋211CB＝5a2，∴21DC＝DF2＋21FC，∴DF⊥FC1FC1⊥EF（II）∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角在△EDF中，若∠EFD＝60°，则ED＝DFtg60°＝3·a5＝a15，∴a15＞a3，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。例3：如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=2的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:BC⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明:侧面PAD⊥侧面PAB;(Ⅲ)求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小;答案：(Ⅰ)证:∵侧面PAB⊥底面ABCD,且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,在矩形ABCD中,BC⊥AB，.∴BC⊥侧面PAB.(Ⅱ)证:在矩形ABCD中,AD∥BC,BC⊥侧面PAB,∴AD⊥侧面PAB.又AD平面PAD,∴侧面PAD⊥侧面PAB.(Ⅲ)解:在侧面PAB内,过点P做PE⊥AB,垂足为E,连结EC,∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,PE⊥AB,∴PE⊥底面ABCD.于是EC为PC在底面ABCD内的射影.∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角.在△PAB和△BEC中,易求得PE=3,EC=3.在Rt△PEC中,∠PCE=45°.例4：设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。如图,3:4:,65cosPBPAABC求直线PB和平面PAC所成角的大小.答案：ABCDP七彩教育网七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载ABCHSM3030,21525sin,,,9025cos3,5,3,4所成的角为和平面即直线中在所成的角和面是面面又即的直径是则设PACPBBPCxxBPCBPCRtPACPBBPCPACBCBCPAABCPAACBCACBOABxABCxBCxPBxABxPA【课内练习】1．若平面外的直线a与平面所成的角为，则的取值范围是（）（A）)2,0(（B）)2,0[（C）]2,0(（D）]2,0[答案：D。解析：a和α平行，a和α斜交。2．在正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM()A是AC和MN的公垂线B垂直于AC但不垂直于MNC垂直于MN，但不垂直于ACD与AC、MN都不垂直答案：A。解析：易证OM⊥AC，OM⊥MN。3．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C。解析：连AC、BD交于O，连OE，则OE//SC.60,21222223212cos,22,23,222BEOBEOOEOBBE4．异面直线a,b所成的角为60，过空间一定点P，作直线L，使L与a,b所成的角均为60，这样的直线L有条。答案：三条。解析：如换成50°，70°呢。5．已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且∠DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________。答案：600。解析：以PD为对角线构造长方体6．正方体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等，试写出满足条件的一个截面____________答案：面AD1C。解析：可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD1C，7．如图，四面体ABCS中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。七彩教育网七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载解析：（1）∵SC⊥SB，SC⊥SA，∴SC⊥平面SAB。于是SB就是直线BC与平面SAB所成的角，为60°。（2）联结SM，CM，∵在Rt△SAB中，∠SBA=45°，∴SM⊥AB，∴AB⊥平面SCM。作SH⊥CM于H，则AB⊥SH，故SH⊥平面ABC，所以∠SCH为SC与平面ABC所成的角。设SA=a，则SB=a，SC=3a，SM=22a。在Rt△CSM中，2222132CMSCSMaa，272sinsin772aSMSCHSCMCMa。即SC与平面ABC所成角的正弦值为77。8．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，⑴求证：A1C⊥平面BDE；⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。答案：⑴由三垂线定理可得，A1C⊥BD，A1C⊥BEA1C⊥平面BDE⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立坐标系，则1(2,0,4)A，(0,2,0)C(2,2,0)B，∴1(2,2,4)AC，1(0,2,4)AB∴11111130cos,6ACABACABACAB设A1C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角，∴11130sincos,6ABKACAB9．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值.七彩教育网七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载答案：（Ⅰ）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AC=AD=2，AB=3，∴△ABC≌△ABD，BC=BD.取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM.∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.（Ⅱ）由CD⊥平面ABM，则平面ABM⊥平面BCD，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，722ACABACABBC.在△ACD中，AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=3.在Rt△BCM中，BC=7，CM=1，6BM..362cos222BMABAMBMABABM10．已知等腰ABC中，AC=BC=2，ACB=120，ABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。答案：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，则OC是PC在平面ABC内的射影，∴PCO是PC与面ABC所成的角。∵PA=PB=PC，∴点P在底面的射影是ABC的外心，注意到ABC为钝角三角形，∴点O在ABC的外部，∵AC=BC，O是ABC的外心，∴OC⊥AB在OBC中，OC=OB，OCB=60，∴OBC为等边三角形，∴OC=2在RtPOC中，cosPCOOCPC12∴PCO=60。【作业本】A组1．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A、平行B、相交C、异面D、以上都有可能答案：D。解析：注意空间和平面中的位置关系的不同。2．a是平面α的斜线，b，a与b成3角，b与a在α内的射影成4角，则a与α所成角的大小为。答案：4。解析：2coscoscos,cos342，即θ=4。七彩教育网七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载3．PCPBPA、、是两两成060角的三条射线,则PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A．21B．36C．33D．23答案：C。解析：可放入正四面中考虑。4．直线l与平面α成角为300，mAmAl,,则m与l所成角的取值范围是。答案：[300,900]。解析：斜线与平面内所有直线的所成角中，线面角最小角。5．边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，如果AB与平面α的距离为2，则AC与平面α所成角的大小是。答案：30。解析：21sin,30222。6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN，求：(1)1cos,ADAM；(2)直线AD与平面ANM所成的角的正切；(3)平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值.解析：(1)以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴，y轴，z轴.则D(0,8,0)，A1(0，0，4)，M(5,2,4)4,8,0(1DA))4,2,5(AM∵01AMDA∴0,cos1AMDA(2)由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN，DA1平面AMN，垂足为N.因此AD与平面ANM所成的角即是.DAN∴1tantan2DANAAD(3)∵1AA平面ABCD，A1N平面AMN，∴11NAAA和分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为，则11115coscos,coscos5AANAAANAAD7．已知∠ACB=900，且在平面α内，PC与CA、CB所成角∠PCA=∠P