三角形全等专题倍长中线法

全等三角形基本判定条件：1、三边对应相等(SSS)。2、两边夹角对应相等(SAS)。3、两角夹边对应相等(ASA)。4、两角对边对应相等(AAS)。5、直角三角形全等条件：①斜边及一直角边对应相等（HL）；②一直角边及一锐角对应相等（ASA）或斜边及一锐角对应相等（AAS）；③两直角边对应相等(SAS)。★注意：直角三角形全等，除边边边（SSS），边角边（SAS），角边角（ASA），角角边（AAS）对应相等外，还有直角边及斜边（HL）、一直角边及一锐角（ASA)、斜边及一锐角（AAS）、两直角边（SS）等对应相等。除以上基本判定外，全等三角形另外判定条件：1、三条中线对应相等，两个三角形全等。2、三条高线对应相等，两个三角形全等。3、三条角平分线对应相等，两个三角形全等。4、两个角及第三个角的角平分线对应相等，两个三角形全等。5、两条边及第三条边上的中线对应相等，两个三角形全等。6、钝角三角形中，一钝角和其一邻边对应相等，钝角所对的较大边也相等，两个三角形全等。或两边及其中一边的对角(钝角)对应相等，两个三角形全等。（SSA）7、等腰三角形中，底边和顶角分别对应相等，两个等腰三角形全等。8、等腰直角三角形中，周长相等，两个等腰直角三角形全等。（因为等腰直角三角形三边之比为1：1：√2，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，对应边相等，故全等）。9、等边三角形中，有一边对应相等，两个三角形全等。★特别提示：在三角形全等的判定中，一定有边相等，一定没有AAA和SSA（除非此角为钝角），这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。三角形全等的性质：1.全等三角形的对应角相等。4.全等三角形的对应边上的中线相等。2.全等三角形的对应边相等。5.全等三角形的对应角的角平分线相等。3.全等三角形面积周长相等。6.全等三角形的对应边上的高对应相等。等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个底角度数相等（简写“等边对等角”）。2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写“等腰三角形的三线合一性质”）。3、等腰三角形的两底角平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（等面积法证明）。7、等腰三角形是轴对称图形（不是等边三角形的情况下），只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8、等腰三角形的腰大于高。等腰三角形的腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。初中三角形全等专题倍长中线法倍长中线法的定义：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系以方便求其中一边的范围值。1、如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是()A.2＜AB＜12B.4＜AB＜12C.9＜AB＜19D.10＜AB＜19答案：C解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C.2、如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④答案：A解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误3、如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）①BF∥CD②△BFE≌△CDE③AB=BF④△ABE为等腰三角形A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④答案：A解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。④不正确。4、如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF，再证明△GEM≌△GEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3，答案选C5、如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）①BD=DE=EC②AB+AE＞2AD③AD+AC＞2AE④AB+AC＞AD+AEA.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE,即AB+AC＞AD+AE.∴①②③④均正确。6、下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）解答：解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；如图，分别延长AD、A′D′到E、E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC，同理：B′E′=A′C′，∴BE=B′E′，AE=A′E′，∴△ABE≌△A′B′E′，∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，∴∠CAD=∠C′A′D′，∴∠BAC=∠B′A′C′，∴△BAC≌△B′A′C′．③不正确。因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了。点评：本题考查了全等三角形的判定方法；要根据选项提供的已知条件逐个分析，分析时看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判得三角形全等的。