4.4-平行四边形的判定(2)

你见过如图这样的简易晾衣架吗？如果依次连接A,B,C，D四个端点，得到的四边形一定是平行四边形吗？ACOBDACOBDC1A1ACOBDACOBD已知：在四边形ABCD中,对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，且ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ,求证：四边形ABCD是平行四边形证明：在△AOD与△COB中∵AO=CO，DO=BO，∠AOD=∠COB∴△AOD≌△COB∴AD=CB同理：AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）定理3：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形平行四边形判定定理3：几何语言：如图∵OA=OC，OB=OD（对角线互相平分的四边形是平行四边形）ABCDO例1、已知：如图，E，F是ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF求证：四边形AECF是平行四边形。ABCDEFO证明:连结AC,交BD于点O∵AB∥CD在ABCD中，BO=DO，AO=CO∴∠ABE=∠CDF又∵∠BAE=∠CDF，AB=CD∴△ABE≌△CDF∴BE=DF∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO∴四边形AECF是平行四边形（平行四边形的对角线互相平分）（平行四边形的定义）（对角线互相平分的四边形是平行四边形）变1:已知：如图,在ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F。求证：四边形AECF是平行四边形。ABCDEF变2:已知：如图，在ABCD中，Ｅ，Ｆ是对角线ＢＤ上的两点，且BＥ＝ＤＦ．求证：四边形AECF是平行四边FEDCBAO讨论：根据现有条件，说说你准备选用哪种方法证明？大概的步骤是怎样的？变3:已知：如图,在ABCD中，E,F是对角线BD上的两点,且BE=DF.M,N分别是AD和BC边上的中点.求证：四边形ENFM是平行四边形。ABCDEFMN1)1,D(),2,3C(1),1,B(),2,3A(例2、已知在直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为：四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.ABCDxyo-1-1112233)关于原点O对称2,3C(与)2,3A(对称原点O关于与1)1,D(1)1,B(∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形解：四边形ABCD是平行四边形，证明如下：OHGFEDCBA练一练1.如图：在ABCD中，E,F是对角线AC上的两个点；G,H是对角线B,D上的两点.已知AE=CF,DG=BH,求证：四边形EHFG是平行四边形.证明：在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ∵ＡＥ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＢＨ∴ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ∴四边形EHFG是平行四边形2、已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，直线EF，GH过点O，分别交AD，BC，AB，CD于E，F，G，H；求证：四边形GFHE是平行四边形BOHGFEDCA2、已知线段a，b，∠α（如图），请用直尺和圆规作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于线段a，b，两条对角线的夹角等于∠αabα练一练探究活动任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么?再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗?试证明你的发现。发现：三角形一条边上的中线的2倍小于另两条边的和。E已知：如图，AD是⊿ABC的中线，求证：2ADAB+AC证明：如图，延长AD至E,使ED=AD.连结BE,EC.∵BD=CD,∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。∴AB=CE(平行四边形的两组对边分别相等)。∵AC+CEAE,∴AB+AC2AD,即2ADAB+AC.DCBA本节课你学到什么？从边看:平行四边形的五个判定方法两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从角看:两组对角分别相等从对角线看:两组对角线互相平分谈谈这节课的体会