直线与圆锥曲线的位置关系练习试题

......学习参考直线与圆锥曲线的位置关系练习题一、选择题1．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A．k＞－baB．k＜baC．k＞ba或k＜－baD．－ba＜k＜ba2．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．03．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.455C.4105D.81054．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.54B．5C.52D.55．已知A，B为抛物线C：y2＝4x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若FA→＝－4FB→，则直线AB的斜率为()A．±23B．±32C．±34D．±436.过点(0,2)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有(C)A．1条B．2条C．3条D．无数条7.直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为(A)A．相交B．相切C．相离D．不确定8.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(A)A．(1,2)B．(1,2]C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)9.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为(C)A.22B.2C.322D．2210．已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(0,5)C．[1,5)∪(5，＋∞)D．[1,5)......学习参考11．直线l：y＝x＋3与曲线y29－x·|x|4＝1交点的个数为()A．0B．1C．2D．312．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A．(1,2)B．(－1,2)C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)13．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1交于不同两点A、B，则|AB|的最大值为()A．2B.455C.4105D.810514．设离心率为e的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A．k2－e2＞1B．k2－e2＜1C．e2－k2＞1D．e2－k2＜1二、填空题1．直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．2．已知(4，2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．3．(2013·汕头模拟)已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．4.若椭圆x23＋y2m＝1与直线x＋2y－2＝0有两个不同的交点，则m的取值范围是.5.已知两定点M(－2,0)，N(2,0)，若直线上存在点P，使得|PM|－|PN|＝2，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：①y＝x＋1；②y＝3x＋2；③y＝－x＋3；④y＝－2x.其中是“A型直线”的序号是.三、解答题1．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左，右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．......学习参考2.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x＋y－20＝0.(1)求抛物线C的方程；(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线C上的两动点，且满足PO⊥OQ，证明：直线PQ过定点．3.设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|3.......学习参考4.已知i，j是x，y轴正方向的单位向量，设a＝xi＋(y－1)j，b＝xi＋(y＋1)j，且满足|a|＋|b|＝22.(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；(2)设点F(0,1)，点A，B，C，D在曲线C上，若AF→与FB→共线，CF→与FD→共线，且AF→·CF→＝0.求四边形ACBD的面积的最小值和最大值．5．(2013·佛山质检)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x23＋y2＝1.如图8－9－3所示，斜率为k(k＞0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝－3于点D(－3，m)．(1)求m2＋k2的最小值；(2)若|OG|2＝|OD|·|OE|，求证：直线l过定点．......学习参考直线与圆锥曲线的位置关系练习题解析及答案一、选择题1．【解析】由双曲线的几何意义，－ba＜k＜ba.【答案】D2．【解析】由题意知：4m2＋n2＞2，即m2＋n2＜2，∴点P(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部，因此直线与椭圆有2个交点．【答案】B3．【解析】设椭圆与直线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由x2＋4y2＝4，y＝x＋t.消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则有x1＋x2＝－85t，x1x2＝4（t2－1）5.∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝2·（－85t）2－4×4（t2－1）5＝4255－t2，当t＝0时，|AB|max＝4105.【答案】C4．【解析】双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线为y＝bax，由方程组y＝bax，y＝x2＋1消去y得，x2－bax＋1＝0有唯一解，所以Δ＝(ba)2－4＝0，ba＝2，e＝ca＝a2＋b2a＝1＋（ba）2＝5.【答案】D5．【解析】焦点F(1，0)，直线AB的斜率必存在，且不为0.故可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x中化简得ky2－4y－4k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4k，①y1y2＝－4，②又由FA→＝－4FB→可得y1＝－4y2，③联立①②③式解得k＝±43.【答案】D6、解析：易知y轴与抛物线切于原点满足条件；直线y＝2与抛物线的对称轴平行也满足条件；另外画出图形，易知有一条直线与抛物线切于x轴上方，故这样的直线有3条．选C.7.选A.......学习参考8、解析：双曲线渐近线斜率小于直线的斜率，即batan60°＝3，所以双曲线的离心率e＝ca＝1＋ba22，即1＜e＜2，故选A.9、解析：设∠AFx＝θ(0θπ)及|BF|＝m，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cosθ⇔cosθ＝13.又m＝2＋mcos(π－θ)⇔m＝21＋cosθ＝32，△AOB的面积为S＝12·|OF|·|AB|sinθ＝12×1×(3＋32)×223＝322，故选C.10.解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆x25＋y2m＝1外部即可．从而m≥1，又因为椭圆x25＋y2m＝1中m≠5，所以m的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞).答案：C11.解析：当x≥0时，曲线为y29－x24＝1；当x＜0时，曲线为y29＋x24＝1，如图所示，直线l：y＝x＋3过(0,3)，又由于双曲线y29－x24＝1的渐近线y＝32x的斜率32＞1，故直线l与曲线y29－x24＝1(x≥0)有两个交点，显然l与半椭圆y29＋x24＝1(x≤0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以共3个交点.答案：D12.解析：过F的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l的倾斜角，已知l的倾斜角是60°，从而ba≥3，故ca≥2.答案：D13.答案：C14.解析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足－ba＜k＜ba，即k2＜b2a2＝c2－a2a2＝e2－1.答案：C二、填空题1【解析】直线y＝kx＋1过定点(0，1)，由题意知m＞0，m≠5，m≥1，∴m≥1，且m≠5.【答案】m≥1，且m≠5......学习参考2【解析】设直线l与椭圆相交于A、B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1，两式相减得y1－y2x1－x2＝－x1＋x24（y1＋y2），又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴y1－y2x1－x2＝－12，故直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.【答案】x＋2y－8＝03．【解析】设直线l′平行于直线x＋y＋5＝0，且与抛物线相切，设l′：y＝－x＋m，由y＝－x＋m，y2＝2x得y2＋2y－2m＝0，由Δ＝4＋8m＝0，得m＝－12.则两直线距离d＝|5－12|2＝924，即|PQ|min＝924.【答案】9244解析：由x23＋y2m＝1x＋2y－2＝0消去x并整理得(3＋4m)y2－8my＋m＝0，根据条件得m≠3m0Δ＝64m2－4m4m＋30，解得14m3或m3.5解析：由条件知考虑给出直线与双曲线x2－y23＝1右支的交点情况，作图易知①③直线与双曲线右支有交点，故填①③.三、解答题1．解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43.(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝1－b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组y＝x＋c，x2＋y2b2＝1，化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则x1＋x2＝－2c1＋b2，x1x2＝1－2b21＋b2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|，即43＝2|x2－x1|.则89＝(x1＋x2)2－4x1x2＝41－b21＋b22－41－2b21＋b2＝8b41＋b22，解得b＝22.......学习参考2．解：(1)设抛物线C的方程为y2＝2mx，由4x＋y－20＝0，y2＝2mx，得2y2＋my－20m＝0.∵Δ0，∴m0或m－160.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1＋y2＝－m2，∴x1＋x2＝5－y14＋5－y24＝10＋m8.再设A(x3，y3)，由于△ABC的重心为Fm2，0，则x1＋x2＋x33＝m2，y1＋y2＋y33＝0，解得x3＝11m8－10，y3＝m2.∵点A在抛物线上，∴m22＝2m11m8－10.∴m＝8，抛物线C的方程为y2＝16x.(2)证明：当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，b≠0，∵PO⊥OQ，∴kPOkOQ＝－1，设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∴xPxQ＋yPyQ＝0.将直线y＝kx＋b代入抛物线方程，得ky2－16y＋16b＝0，∴yPyQ＝16bk.从而xPxQ＝y2Py2Q162＝b2k2，∴b2k2＋16bk＝0.∵k≠0，b≠0.∴直线PQ的方程为y＝kx－16k，PQ过点(16,0)；当PQ的斜率不存在时，显然PQ⊥x轴，又PO⊥OQ，∴△POQ为等腰三角形．由y＝|x|，y2＝16x，得P(16,16)，Q(16，－16)，此时直线PQ过点(16,0)，∴直线PQ恒过定点(16,0)．3.解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有x20a2＋y20b2＝1.①由A(－a,0)，B(a,0)得kAP