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第1页共12页2020年北京市高级中等学校招生考试数学试卷姓名_________准考证号__________________考场号_________座位号_________考生须知1.本试卷共12页,共三道大题,28道小题,满分100分。考试时间120分钟。2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。4.在答题卡上,选择题用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个。1.右图是某几何体的三视图,该几何体是(A)圆柱(B)圆锥(C)三棱柱(D)长方体2.2020年6月23日,北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空,6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道,将36000用科学记数法表示应为(A)0.36×105(B)3.6×105(C)3.6×104(D)36×1033.如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是(A)∠1=∠2(B)∠2=∠3(C)∠1>∠4+∠5(D)∠2<∠54.下列图形中既是中心对称图形也是轴对称图形的是5.正五边形的外角和为(A)180°(B)360°(C)540°(D)720°6.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示,若实数b满足-a<b<a,则b的值可以是(A)2(B)-1(C)-2(D)-37.不透明的袋子中有两个小球,上面分别写着数字“1”“2”,除数字外两个小球无其他差别、从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,第2页共12页那么两次记录的数字之和为3的概率是(A)41(B)31(C)21(D)328.有一个装有水的容器,如图所示,容器内的水面高度是10cm,现向容器内注水,并同时开始计时,在注水过程中,水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加,则容器注满水之前,容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是(A)正比例函数关系(B)一次函数关系(C)二次函数关系(D)反比例函数关系二、填空题(本题共16分,每小题2分)9.若代数式71x有意义,则实数x的取值范围是.10.已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是.11.写出一个比2大且比15小的整数.12.方程组731yxyx的解为.13.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与双曲线y=xm交于A,B两点.若点A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1+y2,的值为.14.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD,这个条件可以是(写出一个即可).15.如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为:S△ABCS△ABD(填“>”,“=”或“<”).16.下图是某剧场第一排座位分布图.第14题图第15题图第3页共12页甲、乙、丙、丁四人购票,所购票数分别为2,3,4,5.每人选座购票时,只购买第一排的座位相邻的票,同时使自己所选的座位号之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票,那么甲购买1,2号座位的票,乙购买3,5,7号座位的票,丙选座购票后,丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票,要使其他三人都能购买到第一排座位的票,写出一种满足条件的购票的先后顺序.三、解答题(本题共68分,第17~20题,每小题5分,第21题6分,第22题5分,第23~24题,每小题6分,第25题5分,第26题6分,第27~28题,每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算:45sin6218)31(118.解不等式组:2312235xxxx<>19.已知5x2-x-1=0,求代数式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.20.已知:如图,△ABC为锐角三角形,AB=AC,CD∥AB.求作:线段BP,使得点P在直线CD上,且∠ABP=21∠BAC.作法:①以点A为圆心,AC长为半径画圆,交直线CD于C,P两点:②连接BP,线段BP就是所求作的线段,(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明.证明:∵CD∥AB,∴∠ABP=.∵AB=AC,∴点B在OA上.又∵C,P都在⊙A上,∴∠BPC==21∠BAC()(填推理的依据).∴∠ABP=21∠BAC.第4页共12页21.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.(1)求证:四边形OEFG是矩形;(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.22.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,且经过点(1,2).(1)求这个一次函数的解析式;(2)当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.23.如图,AB为⊙O的直径,C为BA延长线上一点,CD是⊙O的切线,D为切点,OF⊥AD于点E,交CD于点F.(1)求证:∠ADC=∠AOF;(2)若sinC=31,BD=8,求EF的长.24.小云在学习过程中遇到一个函数y=)(1612xxx(x≥-2).下面是小云对其探究的过程,请补充完整:(1)当-2≤x<0时,第5页共12页对于函数y1=∣x∣,即y1=-x,当-2≤x<0时,y1随x的增大而,且y1>0;对于函数y2=x2-x+1,当-2≤x<0时,y2随x的增大而,且y2>0;结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y,当-2≤x<0时,y随x的增大而.(2)当x≥0时,对于函数y,当x≥0时,y与x的几组对应值如下表:x0211232253……y0161611671489527……结合上表,进一步探究发现,当x≥0时,y随x的增大而增大。在平面直角坐标系xOy中,画出当x≥0时的函数y的图象.(3)过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线l,结合(1)(2)的分析,解决问题:若直线l与函数y=)(1612xxx(x≥-2)的图象有两个交点,则m的最大值是.25.小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量(单位:千克),相关信息如下:a.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图:b.小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下:时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250(1)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为(结果取整数);第6页共12页(2)已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60,则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的倍(结果保留小数点后一位);(3)记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为21S,5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为22S,5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为23S.直接写出,21S,22S,23S的大小关系.26.在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点,其中x1<x2.(1)若抛物线的对称轴为x=1,当x1,x2为何值时,y1=y2=C;(2)设抛物线的对称轴为x=t.若对于x1+x2>3,都有y1<y2,求t的取值范围.27.在△ABC中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE,过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.(1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示);(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.第7页共12页28.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,A,B为⊙O外两点,AB=1.给出如下定义:平移线段AB,得到⊙O的弦A'B'(A',B'分别为点A,B的对应点),线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”.(1)如图,平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4,则这两条弦的位置关系是;在点P1,P2,P3,P4中,连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”;(2)若点A,B都在直线y=323x上,记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1,求d1的最小值;(3)若点A的坐标为(2,23),记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2,直接写出d2的取值范围。2020年北京市高级中等学校招生考试数学试卷参考答案一、选择题(本题共16分,每小题2分)1.【答案】D【分析】本题考查由几何图形的三视图确定几何体,由主视图、左视图和俯视图都是矩形确定是长方体。可知D是正确答案,送分题。2.【答案】C【分析】本题考查科学计数法,用a×10n来表示36000,尤其注意其中“a”的取值范围,必须是1≤|al<10,正确答案为C,送分题.3.【答案】A【分析】本题考查相交线和平行线章节,知识点是对顶角相等。4.【答案】D第8页共12页【分析】本题考查本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义,学生要熟练掌握两者定义。5.【答案】B【分析】本题考查多边形的所有外角之和都是360°.6.【答案】B【分析】本题考查的是对数轴的掌握,根据图可知a的范围是∶1.5<a<2,所以-2<-a<-1.5,在图上标出-a的位置,已知-a<b<a,所以b在图上-a和a之间,确定答案是B.7.【答案】C【分析】本题考查的是概率问题。同学们需要知道简单概率的计算公式所有可能的结果数数事件发生的可能的结果AAP)(,由题可知本题概率应为218.【答案】B【分析】本题考查的是函数在实际生活中的应用,认真读题不难得出答案是一次函数关系。二、填空题(本题共16分,每小题2分)9.【答案】x≠7【分析】考察分式有意义的条件,需要注意分式中分母不能为0,属于送分题。10.【答案】1【分析】考察一元二次方程根的判别式定理,△=0方程有两个相等的实数根,可计算出k=1。11.【答案】2或3(写出一个即可)【分析】本题考查实数比大小,2<4=2<9=3<2,易得答案为2或3.12.【答案】12yx【分析】本题考查解二元一次方程组,利用代入消元法或加减消元法易得12yx13.【答案】0【分析】本题考查一次函数与反比例函数的关系。依据题意,画出函数图像可知。A,B两点关于原点对称,y1与y2是相反数,y1+y2=0.14.【答案】D为BC中点【分析】本题考查全等三角形的判定,难度较低,属于基础题。给予两个条件,再找出一个条件即可。15.如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为:S△ABCS△ABD(填“>”,“=”或“<”).【答案】=【分析】本题考查平行线之间距离相等,连接CD,CD∥AB,△ABC与△ABD同底等高面积相等。第9页共12页16.【答案】方案一:丙:3、1、2、4;丁:13、11、9、7、5;甲:6、8;乙:10、12、14方案二:丙:3、1、2、4:丁:13、11、9、7、5;乙:6、8、10;甲:12、14方案三:丙:3、1、2、4:甲:7、5;丁:6、8、10、12、14;甲:13、11、9方案四:丙:3、1、2、4:乙:9、7、5;丁:6、8、10、12、14;甲:13、11【分析】本题主要的考察学生题干分析能力,主要注意的条件是①只购买第一排②座位相邻③座位号之和最小④选择剩下的座位,此题情况有很多种,题干要求写一种即可。三、解答题17.计算:【答案】5【分析】本题主要考察常见角度(30°、45°、60°)的三角函数值,负整指数幂,最筒二次根式的化简以及绝对值的化简。45sin6218)31(1=2262233=518.【答案】-1<
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