数学建模介绍

数学建模MathematicalModeling乔琛西安交通大学理学院信息与系统科学研究所[e-mail]数学是理解世界的方法，数学是万物的度量。-----毕达哥拉斯自然界的规律是用数学写成的。------伽利略上帝亲手做过的事情，只有通过数学才能理解。------开普勒玩具、照片…~实物模型风洞中的飞机…~物理模型地图、电路图…~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。常见模型什么是数学模型数学模型（MathematicalModel）对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型无处不在欧氏几何、微积分、万有引力公式、虎克定律、运动定律、库仑定律、开普勒三定律、能量转换定律、广义相对论、化学元素周期表、SARS、AIDS、基因序列的分析、人口的增长、可持续资源的开发、电网稳定性、核试验的模拟、三峡大坝的安全、软件的开发、交通管理、物价指数、股票……数学模型的分类分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型、确定性模型、随机型模型等建模中所用的数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、几何模型、优化模型、图论模型、马氏链模型研究课题的实际范畴人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型、基因模型等数学建模的核心：用数学方法来反映、描述或模拟各种现象，揭示事物发展变化的内在规律大学应教给学生什么？基础知识，学习能力，创新意识学生应该学会什么？如何做人;如何思维;掌握必要的知识和运用知识的能力.数学建模课程的学习目的(1)弥补传统数学教学的不足，学习实际应用中的数学建模方法，体会数学的应用价值(2)增强数学学习兴趣，培养学生应用数学知识分析和解决实际问题以及创造的能力(3)学会团结合作，增强团队意识数学建模能教给学生什么？没有最好，只有更好数学建模教学的特点：没有系统的理论或方法.没有标准答案.怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力•学习、分析、评价、改进别人作过的模型•亲自动手，认真作几个实际题目对数学建模课程，不要期望太高EverythingNothingSomethingAtasteofmodeling问题关键：圆桶到底能承受多大速度的碰撞？圆桶和海底碰撞时的速度有多大？缘起:处理浓缩放射性废物的做法（把这些废物装入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里）是否会造成放射性污染？让事实说话！放射性废物的处理问题已知：圆桶在40英尺／秒的冲撞下会发生破裂圆桶：55加仑(1加仑=3.785411升)装满放射性废物时的圆桶重量W=527.436磅在海水中受到的浮力B=470.327磅下沉时圆桶所受海水的阻力D=Ｃv(Ｃ=0.08)问题：计算圆桶沉入300英尺深的海底时,其末速度=?模型及其求解22dydymmgBcdtdt(0)0,'(0)0yyy(0)=0y(t)mgBD根据牛顿第二定律，圆桶下沉时应满足方程质量·加速度=重力-浮力-摩擦阻力2/2(1)ctmmgmBmgByetcc)1()(tWCgeCBWtv极限速度：713.86(英尺／秒)!713.8640困难：无法知道下沉到海底的时间22,dydydddyddtdtdtdydtdy,(0)0dmmgBcdy,mddymgBc积分并代入初始条件得：2lnmmgBmgBcyccmgB用数值计算方法得到v(300)≈45.1英尺／秒＞40英尺／秒为什么要用三级火箭来发射人造卫星•为什么不能用一级火箭,而必须用多级火箭来发射人造卫星?•为什么一般都采用三级火箭系统？（1）卫星能在轨道上运动的最低速度•为什么不能用一级火箭发射人造卫星?（i）卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动；（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计。假设：分析：根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为:2kmFr2kmmgR在地面有得2kgR2RFmgr故R为地球半径，约为6400公里卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力，故：2mvFr从而gvRr（2）火箭推进力及速度的分析假设：不计空气阻力分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t)，有记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），由动量守恒定理：2()()()dmmttmttOtdt2()()()()()(())()dmmtvtmttvtttvtuOtdt得dvdmmudtdt由此解得：00()ln()mvtvumtυ0和m0一定的情况下，火箭速度υ(t)由喷发速度u及质量比决定。（3）火箭推进力及速度的分析现将火箭——卫星系统的质量分成三部分：（i）mp（有效负载，如卫星）（ii）mf（燃料质量）（iii）mS（结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）。最终质量为mP+mS,初始速度为0，所以末速度：0lnpsmvumm一般地0()()sfspmmmmm为常数00ln(1)pmvumm则末速度为特别地，当mP=0时1lnvu（4）理想火箭模型假设：记结构质量mS在mS+mf中占的比例为λ，假设火箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以λ与（1－λ）的比例同时减少。理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP所以最终速度为：0(1)lnpmvum2()()()()()(1)(())()dmdmmtvtmttvtttvttvtuOtdtdt由动量守恒得得(1)dvdmmudtdt0()(1)ln()mvtumt-只要m0足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星要使υ=10.5公里/秒才行，则可推算出m0/mp约为50,即发射一吨重的卫星大约需要50吨重的理想火箭（5）理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第i级火箭的质量，mP表示有效负载。先作如下假设：（i）设各级火箭具有相同的λ,即i级火箭中λmi为结构质量,（1－λ）mi为燃料质量。（ii）设m1=k(m2+mP)，m2=kmP考虑二级火箭：当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：12112lnppmmmvummm当第二级火箭燃尽时，末速度为：2122212122lnlnppppppmmmmmmmvvuummmmmmm又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，仍设u=3公里/秒，且为计算方便，近似取λ=0.1，则可得1222122113ln0.10.111PPPPmmmmmmmmmm2113ln6ln0.110.11kkkk要使υ2=10.5公里/秒，则应使:10.5615.750.11kek即k≈11.2，而:12149PPmmmm类似地，可以推算出三级火箭：1232333123233lnPPPPPPmmmmmmmmmummmmmmmmm在同样假设下:33113ln9ln0.110.11kkkk要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而（m1+m2+m3+mP）/mP≈77。三级火箭比二级火箭几乎省了一半是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。•由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。•当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0，在相同的假设下可以计算出相应的m0/mP的值，见下表考虑N级火箭：n（级数）12345…∞（理想）火箭质量（吨）/149776560…50（6）火箭结构的优化设计前面假设(ii)有点强加的味道。现去掉该假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。记：pppppmmmammmmmammmma3333223201则1)1(1)1(1)1(ln,1,1,1)(,33221133232132132100321aaaaaauvammammmammmmmmmmmmmaaappppp等价于的条件极值。利用Lagrange乘子法，设Lagrange函数pmmaaatosubjectaaa/]1)1(][1)1(][1)1([min0321321)/(]1)1(][1)1(][1)1([),,,(0321321321pmmaaaaaaaaaL求导得：pmmaaaLaaaaaLaaaaaLaaaaaL/]1)1(][1)1([]1)1(][1)1([]1)1(][1)1([0321212133131232321由对称性我们知道这3个数相等时v/u最大。火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（ii）相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！