解三角形知识点及题型总结

基础强化（8）——解三角形1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)；②.三角形三边关系：a+bc;a-bc③.锐角三角形性质：若ABC则6090,060AC2、三角形中的基本关系：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABCsincos,cossin,tancot222222ABCABCABC3、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC．4、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sinaR，2sinbR，2sincRC；②化边为角：sin2aR，sin2bR，sin2cCR；③::sin:sin:sinabcC；④sinsinsinsinsinsinabcabcCC=2R5、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)6、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac．=2R2sinAsinBsinC=Rabc4=2)(cbar7、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC．8、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab．9、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角10、三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点11.仰角与俯角，方向角与方位角题型一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．例1.（1）在ABC中，已知45A，60B，42acm，解三角形．（2）在6,45,2,,ABCcAabBC中，求和．（3）在3,60,1,,ABCbBcaAC中，求和．（4）在△ABC中，已知3a，2b，45B，求,AC和c．（5）在△ABC中，已知三边长3a，4b，37c，求三角形的最大内角．1.在ABC△中，4a，5b，6c，则sin2sinAC．2.在ΔABC中，已知66cos,364BAB，AC边上的中线BD=5，求sinA的值．题型二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例2．（1）在ABC中，Cbacos2，则此三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形（2）在ABC中，若BACsincos2sin，则此三角形必是（）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形（3）设ABC的内角C,B,A的对边分别为cba,,，若()cosabcC,则ABC的形状是A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.锐角三角形1、在ABC中，若,2lgsinlglgcoslgsinCBA则ABC的形状是()A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形2．在ABC中，若coscossinbCcBaA,则ABC的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定题型三：与面积有关问题例3、已知向量),sin3,(sinxxm),cos,(sinxxn设函数,)(nmxf若函数)(xg的图象与)(xf的图象关于坐标原点对称．(1)求函数)(xg在区间]6,4[上的最大值，并求出此时x的值；(2)在ABC中，cba,,分别是角CBA,,的对边，A为锐角，若,23)()(AgAf,7cbABC的面积为,32求边a的长．1.、在ABC中，内角CBA,,的对边分别为.,,cba已知,32cosA.cos5sinCB(1)求Ctan的值；(2)若,2a求ABC的面积.2.已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC．（I）求边AB的长；（II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．题型之四：三角形中求值问题1.在ABC中，CBA、、所对的边长分别为cba、、，设cba、、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值．2．在锐角ABC△中，角ABC，，所对的边分别为abc，，，已知22sin3A，（1）求22tansin22BCA的值；（2）若2a，2ABCS△，求b的值。3．在ABC△中，内角ABC，，对边的边长分别是abc，，，已知2c，3C．（Ⅰ）若ABC△的面积等于3，求ab，；（Ⅱ）若sinsin()2sin2CBAA，求ABC△的面积．题型五：解三角形中的最值问题例5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2c，3C（1）求△ABC周长的取值范围（2）求△ABC面积的取值范围1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos(cos3sin)cos0CAAB.1）求角B的大小；(2)若1ac，求b的取值范围2．△ABC在内角,,ABC的对边分别为,,abc,已知cossinabCcB.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若2b,求△ABC面积的最大值.3.已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，a=2，且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为.4.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA.（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围.5.ABC的三个内角为ABC、、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。题型六：图形中的解三角形例6.如图，在ABC中，D是边AC上的点，且BDBCBDABADAB2,32,，则Csin的值为A.33B.63C.36D.661.如图ABC中,已知点D在BC边上,ACAD,22sin,32,33BACABAD，则BD的长为_____.题型七：正余弦定理解三角形的实际应用（一）测量问题1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。（二）遇险问题2.某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？（三）追击问题3.如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？图1ABCD图3ABC北45°15°西北南东ABC30°15°图2