不等式的分类及解法

2.2不等式的分类及解法1、分类：（1）一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式；（2）指数不等式、对数不等式、分式不等式、均值不等式、高次不等式。2、解法：--------直接法（1）一元一次次不等式),(Rbabax0aabxx0aabxx0a0b0bR无论何种解法都务必保证每步变形都是同解变形------口诀法（2）一元二次不等式、简单绝对值不等式口诀：大两边，小中间（前提：a0;大、小指不等号）。21221)0(0,xxacbxaxxx的两个根，且是方程)0(0)1(2acbxax042acb00,-21xx，，，abab22--R)0(0)2(2acbxax042acb0021,xx2x1x1x2xab2-注：由此表可知，解一元二次不等式可用判别式法（Δ）。、解一元二次不等式的基本步骤：,012cbxax）整理成（的根，根公式解出方程）利用因式分解法、求（022cbxax的解。）利用口诀写出不等式（3、简单绝对值不等式;;,01axaaxaxaxaxa或）若（.,,02;0,00,01,0200xaxRxaxaxxxxax若若所以：）因为（-------口诀：大两边，小中间。.13,2103000的系数为化中的常数项消去的解，诀写出运用整体思想，利用口的解法及步骤：）（xbbaxbaxbax方法解得相应结果。用解一元二次不等式的二次不等式，两边同时平方化成一元，：将不等式化成标准形式）平方法：（0003214ax------公式法不等式组结果取值口诀：大大取较大，小小取较小，小大大小中间找。（3）一元二次方程实根分布的充要条件（根的分布公式）),0()(),0(022acbxaxxfacbxax对应的二次函数为方程则：且、轴有两个交点与若),,(,)(2121nmxxxxxxxf1°、两根都在（m,n）外，如图：mmm0)(0)(0nfmfa0)(200mfmaba0)(200nfnaba------公式法2°两根都在（m,n）内，如图：mmn0)(0)(200nfmfnabma3°一根在（m,n）内，一根在（m,n）外，如图：m0)(0)(0nfmfa0)(0)(0nfmfa注：即在（m,n）内只有一个根时，若a0,则f(m)f(n)0。（4）含有多个绝对值符号的不等式的解法------零点分段法1°、即利用绝对值的定义，去掉绝对值符号，将其转化为不等式组求解。2°、对于形如：|x-a|+|x-b|(或)m(mo),利用实数绝对值的几何意义求解较简便。（5）指数、对数不等式的解法------同底法1°、)()(xgxfaa.10),()(;1),()(axgxfaxgxf2°、)(log)(logxgxfaa.10),()(0;1,0)()(axgxfaxgxf注：解对数不等式时，要关注制约条件，即：.0)(,10)(logxfaaxfa真数且中，底数即在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，需要对他们的底数进行讨论。------数轴标根法（6）（高次）不等式的通用解法解题步骤：1°求根------2°标根-------3°穿针引线------4°写解。关键点：设x的最高次项系数为a;3°穿针引线的方法：右→左；若a0,则上→下，a0则下→上。如图：a0a04°写解需明确：图像在数轴上方的部分对应x0;图像在数轴下方的部分对应x0.例：03212xx）（032-22xx）（03213xxx）（注：对于“重根”------奇穿偶回。0254432xxx）（解（4）：2-5-4xx（7）含有参数的不等式的解法------分类讨论法1°、不等式两边同乘或同除以一个含有参数的式子时，需要讨论这个式子的正、负、零性；（8）分式不等式的解法-------同解转化法x2x1x12°、在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程的根况（有时要分析Δ），比较两个根的大小，根x1、x2（或更多）若含有参数，要分、、=三种情况进行讨论。x1x2x2注：对于高次或分式不等式，都可转化为整式不等式，利用数轴标根法求解；对于分式不等式，要注意是否含有分母的根的解，分母不能为零。)0(0)()(00)()(0(0)()(xgxfxgxfxgxf）；（）)0(0)()(0)(xgxfxg（8）基本均值不等式------公式法1°、定义：两（n）个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。2°、一般公式：公式：,2,0,0abbaba则若”。时取“当且仅当ba”。时取“当且仅当ba”。时取“当且仅当ba”。时取“当且仅当ba”。时取“当且仅当ba，、，、，、、，、，，，)0(,26)0(225),0(34),(23),0(22);(0122223222babaabbababacbaabccbaRbaabbaabbaabRaa”。时取“当且仅当ba几何意义：在圆中，半径不小于半弦，如图：abcrabcbarabcabc2.2由相交弦定理：3°、最值定理------积定和最小，和定积最大。.4(2;2(1,0,02SxySyxPyxPxyyx有最大值定值），则积若和有最小值定值），则若积内容：设注：1）定值---------即一个确定的实常数。2）利用均值的基本不等式求最值时应注意：1*一正、2*二定、3*三相等。即：1*、函数中相关各项必须是正数；2*、求积的最大值时，和必须是一个定值；求和的最小值时，积必须是一个定值，通常要用到“拆项”或“凑项”等解题技巧；3*、当且仅当各项相等时，才能取等号。以上三点应特别注意，解题时缺一不可。4°、四种均值的关系.22112,022babaabbaba则、设注：依次为调和、几何、算术、平方平均数。