《基本不等式》典型例题

不等式1高中数学必修五典题精讲典题精讲例1（1）已知0＜x＜31，求函数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+x1的值域.思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x＜31,∴1-3x＞0.∴y=x(1-3x)=31·3x(1-3x)≤31［2)31(3xx］2=121，当且仅当3x=1-3x，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121.解法二：∵0＜x＜31,∴31-x＞0.∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［231xx］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121.（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+x1≥2xx1=2，当且仅当x=1时，等号成立.当x＜0时，y=x+x1=-［(-x)+)(1x］.∵-x＞0,∴(-x)+)(1x≥2,当且仅当-x=x1,即x=-1时，等号成立.∴y=x+x1≤-2.综上,可知函数y=x+x1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+11x的最小值.思路分析：x＞-1x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11x的积为常数.不等式2解：∵x＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+11x=x+1+11x-1≥2)1(1)1(xx-1=1.当且仅当x+1=11x,即x=0时,取得等号.∴f(x)min=1.变式训练2求函数y=133224xxx的最小值.思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1.∴y=133224xxx=1113)1(3)1(22tttttttt.∵t≥1,∴t+t1≥2tt1=2,当且仅当t=t1,即t=1时，等号成立.∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x＞0,y＞0，且x1+y9=1，求x+y的最小值.思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”,∵x1+y9=1,∴x+y=(x+y)·(x1+y9)=10+yxxy9.∵x＞0,y＞0,∴yxxy9≥2yxxy9=6.当且仅当yxxy9，即y=3x时，取等号.不等式3又x1+y9=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法二：由x1+y9=1，得x=9yy.∵x＞0,y＞0,∴y＞9.x+y=9yy+y=y+999yy=y+99y+1=(y-9)+99y+10.∵y＞9,∴y-9＞0.∴999yy≥299)9(yy=6.当且仅当y-9=99y，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由x1+y9=1，得y+9x=xy,∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2)9)(1(yx=16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又x1+y9=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：x1+y9≥2xy9①,即xy6≤1,∴xy≥6.∴x+y≥2xy≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.不等式4产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是x1=y9，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ybxa=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)(ybxa)=a+xayybx+b=10+xayybx.∵x,y＞0,a,b＞0，∴x+y≥10+2ab=18，即ab=4.又a+b=10，∴8,2ba或.2,8ba例3求f(x)=3+lgx+xlg4的最小值（0＜x＜1）.思路分析：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,xlg4＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,xlg4＜0.∴-xlg4＞0.∴(-lgx)+(-xlg4)≥2)lg4)(lg(xx=4.∴lgx+xlg4≤-4.∴f(x)=3+lgx+xlg4≤3-4=-1.当且仅当lgx=xlg4,即x=1001时取得等号.不等式5则有f(x)=3+lgx+xlg4(0＜x＜1)的最小值为-1.黑色陷阱：本题容易忽略0＜x＜1这一个条件.变式训练1已知x＜45，求函数y=4x-2+541x的最大值.思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x＜45，则4x-5＜0.解：∵x＜45,∴4x-5＜0.y=4x-5+541x+3=-［(5-4x)+x451］+3≤-2xx451)45(+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=x451,即x=1时等号成立.所以当x=1时，函数的最大值是1.变式训练2当x＜23时，求函数y=x+328x的最大值.思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328x并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=21（2x-3）+328x+23=-（xx238223）+23,再求最值.解：y=21（2x-3）+328x+23=-（xx238223）+23，∵当x＜23时，3-2x＞0，∴xx238223≥xx2382232=4，当且仅当xx238223，即x=-21时取等号.于是y≤-4+23=25，故函数有最大值25.例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1不等式6（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为xm，宽为ym，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.解：（1）设每间虎笼长为xm，宽为ym，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥2yx32=2xy6,∴2xy6≤18,得xy≤227，即S≤227.当且仅当2x=3y时等号成立.由,1832,22yxyx解得.3,5.4yx故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大.方法二:由2x+3y=18，得x=9-23y.∵x＞0,∴0＜y＜6.S=xy=(9-23y)y=23(6-y)y.∵0＜y＜6,∴6-y＞0.∴S≤23［2)6(yy］2=227.当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:∵2x+3y≥2yx32=2xy6=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.由,24,32xyyx解得.4,6yx故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24，得x=y24.∴l=4x+6y=y96+6y=6(y16+y)≥6×2yy16=48,当且仅当y16=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.不等式7故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y都是正数；（2）积xy（或x+y）为定值；（3）x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x米,则宽为x200米(0＜x≤16,0＜x200≤16),∴12.5≤x≤16.于是总造价Q(x)=400(2x+2×x200)+248×2×x200+80×200.=800(x+x324)+16000≥800×2xx324+16000=44800,当且仅当x=x324(x＞0),即x=18时等号成立,而18［12.5,16］,∴Q(x)＞44800.下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.对任意12.5≤x1＜x2≤16,则x2-x1＞0,x1x2＜162＜324.Q(x2)-Q(x1)=800［(x2-x1)+324(1211xx)］=800×212112)324)((xxxxxx＜0,∴Q(x2)＞Q(x1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.∴Q(x)≥Q(16)=45000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45000元.问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不等式8不满意度降低.设住第n层楼时,环境不满意程度为n8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.导思：本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究：设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y.由题意知y=n+n8.∵n+n8≥2248nn,当且仅当n=n8,即n=22时取等号.但考虑到n∈N*,∴n≈2×1.414=2.828≈3,即此人应选3楼,不满意度最低.