1-2-函数及其表示

2020/8/142020/8/14重点难点重点：①映射与函数的概念．②函数的定义域、值域及求法．③分段函数．难点：复合函数及分段函数．2020/8/14知识归纳1．映射(1)映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的一个元素，在集合B中都有的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.任何惟一确定2020/8/14(2)象和原象：给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．2020/8/142．函数(1)定义设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值2020/8/14相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．从映射的角度看，函数是由一个到另一个的映射．非空数集非空数集2020/8/14(2)函数的表示法有：、、理解函数概念还必须注意以下几点：①函数是一种特殊的映射，集合A、B都是非空的数的集合．解析法列表法图象法．2020/8/14②确定函数的映射是从定义域A到B(值域C⊆B)上的映射，允许A中的不同元素在B中有相同的象，但不允许B中的不同元素在A中有相同的原象，A中任意元素在B中都要有象，但B中元素可以在A中无原象，C中元素在A中不能没有原象．2020/8/14③若两个函数的定义域、对应法则分别相同，称这两个函数相等．④函数的定义域是自变量x的取值范围，是函数的一个重要组成部分．同一个对应法则，由于定义域不相同，函数的图象与性质一般也不相同．⑤函数的图象可以是一条或几条平滑的曲线．2020/8/14⑥对于以x为自变量的函数，f(a)的含义与f(x)的含义不同．f(a)表示自变量x＝a时所得的函数值，它是一个常量；f(x)是x的函数，通常它是一个变量．2020/8/143．函数的定义域(1)根据函数解析式求函数定义域的依据有：①分式的分母不得为；②偶次方根的被开方数不得小于；③对数函数的真数必须大于；④指数函数和对数函数的底数必须；⑤三角函数中的正切函数y＝tanx定义域为xx∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z.000大于0且不等于12020/8/14(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，求f(x)的定义域，是指在x∈的条件下，求g(x)的值域．a≤g(x)≤b[a，b]2020/8/14(3)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义．(4)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．2020/8/144．函数的值域(1)确定函数值域的原则①当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中y的值的集合．②当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合．2020/8/14③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则惟一确定．④当函数由实际问题给出时，函数的值域应结合问题的实际意义确定．2020/8/14(2)基本初等函数的值域①y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a0时，值域为4ac－b24a，＋∞；当a0时，值域为－∞，4ac－b24a.③y＝kx(k≠0)的值域是{y|y∈R且y≠0}．2020/8/14④y＝ax(a0，且a≠1，x∈R)的值域是(0，＋∞)．⑤y＝logax(a0，且a≠1，x0)的值域是R.⑥y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分别为[－1,1]，[－1，1]，R.2020/8/14(3)求函数值域的方法求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：①直接法——从自变量x的范围出发，通过观察和代数运算推出y＝f(x)的取值范围；②配方法——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法．2020/8/14③反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数的值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解．2020/8/14④判别式法——把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域．形如y＝a1x2＋b1x＋c1a2x2＋b2x＋c2(a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解．前提条件：函数的定义域应为R；分子、分母没有公因式．2020/8/14⑤换元法——运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例如：形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用此法求解．2020/8/14⑥不等式法——利用基本不等式：a＋b≥2ab(a、b∈R＋)求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”．2020/8/14⑦单调性法——根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域．⑧求导法——当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值确定值域；⑨数形结合法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．2020/8/14误区警示1．映射的定义是有方向性的，即从集合A到B与集合B到A的映射是两个不同的映射．映射是特殊的对应，只能是一对一或多对一，不能一对多．2．判断两个函数是否为相等函数，关键看定义域和对应法则是否都相同．2020/8/143．复合函数求定义域时，因不能深刻理解函数定义域的意义而致误，常见的是把已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域与已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域混淆．4．解题过程中不要忽视定义域的限制作用致误5．不要忽视实际问题的实际意义的限制作用．6．换元法求解析式或函数值域，换元后易漏掉考虑新元的取值范围．7．判别式法求值域对端点要进行检验．2020/8/148．利用均值不等式求值域时，要注意必须满足已知条件和不等式一端是常数，等号能成立，还要注意符号．9．熟练掌握求函数值域的几种常用方法，要注意这些方法分别适用于哪些类型的函数．如求函数y＝x＋1－x与y＝x＋1－x2的值域，虽然形式上接近但采用的方法却不同．2020/8/1410．分段函数求值或解不等式时，一定要先区分自变量在哪一段区间上取值．2020/8/142020/8/14一、定义法用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法．利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征．2020/8/14[例1]已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，在同一直角坐标系下，函数y＝f(x)的图象与直线x＝a(a为实数常数)的交点个数为()A．0个B．1个C．2个D．0个或1个2020/8/14解析：∵f(x)的定义域为[－1,5]，当a∈[－1,5]时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象必有一个交点，当a∉[－1,5]时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象无交点．根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，在其值域中有唯一确定的元素与之对应，故直线x＝a与y＝f(x)的图象至多有一个交点．选D.答案：D2020/8/14二、求函数解析式常用的方法1．换元法[例2]已知f(1－cosx)＝sin2x，求f(x)．2020/8/14解析：令t＝1－cosx，则cosx＝1－t∴sin2x＝1－cos2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t∴f(x)＝－x2＋2x，但t＝1－cosx∈[0,2]∴f(x)＝－x2＋2xx∈[0,2]．2020/8/142．待定系数法若已知函数类型，则可用此法．[例3]设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．2020/8/14解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)由f(x＋2)＝f(2－x)知，该函数的图象关于直线x＝2对称∴－b2a＝2，即b＝－4a①又图象过点(0,3)，∴c＝3②由方程f(x)＝0的两实根平方和为10，得2020/8/14(－ba)2－2ca＝10，即b2－2ac＝10a2③由①、②、③得a＝1，b＝－4，c＝3(a＝0应舍去)∴f(x)＝x2－4x＋32020/8/143．消元法已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其它未知量，如f(－x)、f1x等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．2020/8/14[例4]已知函数f(x)满足条件：f(x)＋2f(1x)＝x，则f(x)＝________.分析：由于难以判断f(x)是何种类型的函数，故不可能先设出f(x)的表达式，但如果把条件中的x换成1x，即得f(1x)＋2f(x)＝1x，把f(x)、f(1x)作为一个整体量，得到了这两个量的方程组．2020/8/14解析：用1x代换条件方程中的x得，f(1x)＋2f(x)＝1x，把它与原条件式联立．即得fx＋2f1x＝x，①f1x＋2fx＝1x.②②×2－①得f(x)＝2－x23x.2020/8/14点评：充分抓住已知条件式的结构特征，运用x取值的任意性获得②式是解决此题的关键．2020/8/14若已知2f(x)－f(－x)＝2x－1，你会求f(x)吗？答案：f(x)＝2－x23x2020/8/144．赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化、具体化，从而获解．2020/8/14[例5]已知函数f(x)满足f(0)＝1，f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)(a、b∈R)，求f(x)．2020/8/14解析：解法1：令a＝0，则f(－b)＝f(0)－b(－b＋1)＝1＋b(b－1)＝b2－b＋1，再令－b＝x得，f(x)＝x2＋x＋1.解法2：令b＝a，则1＝f(0)＝f(a)－a(2a－a＋1)＝f(a)－a(a＋1)，∴f(a)＝a(a＋1)＋1＝a2＋a＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.2020/8/145．转化法已知f(x)在某个区间上的表达式及f(x)具有某种性质(如奇偶性、对称性等)，求f(x)在另一个区间上的表达式，常用转化法求解．2020/8/14[例6](2010·广东文)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)＝x(x－2)．(1)求f(－1)，f(2.5)的值；(2)写出f(x)在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f(x)在[－3,3]上的单调性．2020/8/14解析：(1)由f(－1)＝kf(1)，f(2.5)＝1kf(12)知需求f(12)和f(1)，f(1)＝－1，f(12)＝12×(12－2)＝－34，∴f(－1)＝－k，f(2.5)＝－34k2020/8/14(2)∵0≤x≤2时，f(x)＝x(x－2)，设－2≤x0，则0≤x＋22，∴f(x)＝kf(x＋2)＝k(x＋2)x；设－3≤x－2，则－1≤x＋20，∴f(x)＝kf(x＋2)＝k2(x＋4)(x＋2)；设2x≤3，则0x－2≤1，∵f(x