导数与微分(高等数学)

求导法则基本公式导数xyx0lim微分xydy关系)(xodyydxydyydxdy高阶导数高阶微分第二章导数与微分1、导数的定义.)()(limlim00000xxfxxfxyyxxxx导函数0000()(),,,xxxxxxdydfxfxydxdx或()(),,,dydfxfxydxdx或00()().xxfxfx注意：记为例题1.设()fx存在，且000(2)()lim1xfxxfxx则0()fx等于A.1,B.0,C.2,D.0.5分析：000(2)()limxfxxfxx00020(2)()2lim2()12xfxxfxfxx0()0.5fx自变量增量自变量增量自变量增量)()(lim)(0000xfxfxf导数定义的本质：练习：P43第3题2、单侧导数左导数与右导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。例.见教材P42页例6例题2.讨论211()21xxfxxx在1x处的连续性与可导性.分析：1(1)22xfx211lim()lim(1)2xxfxx11lim()lim(2)2xxfxx所以()fx在1x处连续211()(1)12(1)limlim11xxfxfxfxx2111limlim(1)21xxxxx111()(1)22(1)limlimlim2211xxxfxfxfxx所以(1)(1)(1)2fff因此()fx在1x处可导。211()21xxfxxx题目的函数为：当1x时，21()21xxfxx所以11(1)lim()lim22xxffxx11(1)lim()lim22xxffx因此(1)(1)(1)2fff从而()fx在1x处可导。判断可导性的另一种方法：3、导数的几何意义：函数()yfx在点0xx处的导数0()fx表示曲线在点00(,())xfx处切线的斜率。曲线在点00(,())xfx处的切线方程为'000()()()yfxfxxx法线方程为：00'01()()()yfxxxfx例求曲线3yx2122312xxky'|x|211112k,k在点（2，8）处得切线方程和法线方程。解在点（2，8）处的切线斜率为所以，所求切线方程为8122（）,yx所求法线斜率为于是所求法线方程为12160.xy18(2),12yx12980.xy4、导数与连续的关系：定理(函数可导的必要条件)：()yfx在点0xx处可导()yfx在点0xx处连续。可导→连续，反之不一定即函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件。例子见教材P42例题7，8例函数00x,x,x,xy|x|在x=0连续但不可导，于是有xyxyo|0||0|||,yxx.1lim||limlim,1lim||limlim000000xxxxxyxxxxxyxxxxxx),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy可导一定连续，但是连续不一定可导。连续一定有极限，但是有极限不一定连续。因为例.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性在讨论函数xxxxxxf解,1sin是有界函数x01sinlim0xxx.0)(处连续在xxf.0)(处不可导在xxf0)(lim)0(0xffx练习：P43页第7题0()(0)lim0xfxfx01sinlimxxxx01limsinxx01limsinxx因为不存在5、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxxarc6、求导法则设)(),(xvvxuu可导，则（1）vuvu)(,（2）uccu)((c是常数),（3）vuvuuv)(,（4）)0()(2vvvuvuvu.(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx则有的反函数为如果函数{[()]}[()]()fxfxx或☆注意：{[()]}fx与[()]fx的区别{[()]}fx表示复合函数对自变量x求导).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或的导数为则复合函数而设（3）.复合函数的导数：复合函数求导关键在于正确地分解复合函数，正确地运用复合函数求导法则。[()]fx表示复合函数对中间变量()x求导例求下列函数的导数cosln(1)yx例设，求y'.解例设，求y'.解)ln(arcsinxy221111(arcsin).arcsinarcsin11arcsinyxxxxxxxyarctan21111().11()22(1)yxxxxxx首页上页下页lnlnyxxy(4)隐函数求导法则隐函数求导法:方程两端同时对x求导,注意在求导过程中要y=f(x)视为x的函数,即把y视为中间变量。见P53页例3例求由方程xyxye所确定的隐函数的导数xy'.解方程两端对x求导数，得例求椭圆221169xy在点处的切线方程.解所求切线斜率为2xky'|.方程两边对x求导,得2089xyy'.916xy'.y(1),xyyxyey.xyxyyeyxyyexxyx323,2首页上页下页例求由方程所确定的隐函数的二阶导数yxey122dxyd,)()(间的函数关系与确定若参数方程xytytx;)()(ttdtdxdtdydxdy.)()()()()(322tttttdxyd(5)参变量函数的求导法则解：曲线上对应t=1的点（x,y)为（0,0）,曲线t=1在处的切线斜率为1tdxdyk12231ttt122于是所求的切线方程为y=－x123{txtty求曲线在t=1处的切线方程例ttytxarctan)1ln(2例题：设，求22dxyd(6)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:对数求导法适用于幂指函数()().vxux函数相乘和幂指函数的情形以及多因子乘积（或商）函数的导数例.见P53页例4，5，611111212341(1)(2)1111.2(3)(4)1234yyxxxxxxxxxxxx首页上页下页111111,21234yyxxxx1ln[ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)],2yxxxx两边对x求导数，得解：两边取对数，得例求函数)4()4)(3()2)(1(xxxxxy的导数.（7）抽象函数的求导法则21.(),yfxy求22.(),yfxy求()3.,fxyeyy求及7、高阶导数,)()(lim))((0xxfxxfxfx二阶导数记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或.,),(33dxydyxf二阶导数的导数称为三阶导数,记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)求函数的高阶导数要根据求导的阶数的不同而选择不同的方法。1当只须求函数的2、3、4、5阶导数时，通常选择先求出函数的一阶导数，再求出函数的二阶导数，这样一阶接一阶求下去，直至求出所求阶导数的方法。2当所求的阶数比较高（超过五、六阶）时，通常先求出函数的一至四或五阶导函数从中寻找出高阶导函数表达式规律，再应用数学归纳法求出函数的高阶导。或者利用常见函数的高阶导公式及高阶导运算法则求出高阶导数。例xye求的n阶导数.解xy'e,xy''e,xy'''e,4()xye,一般地，可得(n)xye.例解ysinxn求的阶导数.cossin(),2yxxcos()sin()sin(2),2222yxxxcos(2)sin(3),22yxx一般地，可得()sin().2nyxn首页上页下页例n求的阶导数.解)1()1ln(xxy121(1),(1)(1),1yxyxx3(4)4(1)(2)(1),(1)(2)(3)(1),yxyx()1(1)!(1)(2)(3)(1)(1)(1).(1)nnnnnynxx一般地，可得上页下页练习：P512(1)(4)(5)1.(),(1)xfxxef已知求2.ln(1),yxy已知求3.,(0)xyxey已知求8、微分.),(,)(,)(),()()()(,,)(000000000xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx即或记作的微分于自变量增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果在这区间内及在某区间内有定义设函数.的线性主部叫做函数增量微分ydy(微分的实质)（1）微分的定义（2）、导数与微分的关系).(,)()(000xfAxxfxxf且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数定理（3）、微分的求法dxxfdy)(求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.（4）基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(arc函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud（5）、微分的基本法则微分形式的不变性的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyxdxxfdy)(