导数与微分教案

教案课程名称：高等数学编写时间：200年月日第次第2-1页授课章节第二章导数与微分第一节导数的概念目的要求1．导数定义2．导数的几何意义重点难点导数定义复习……………………………………………………………………………………3分钟第一节导数的概念一、引例1变速直线运动的速度：由()()00tttstsv--=推出瞬时速度概念。2曲线切线斜率：由()()tg=-00xxx-fxfk=推出切线斜率概念。二、导数定义给出函数y=f(x)增量的概念：↔-=0xxx自变量增量；↔)(-)(=)(=0xfxfxfy函数增量。1导数定义：设f(x)在点x0的某个邻域内有定义，且000→0→-)(-)(lim=)(limxxxfxfxxfxx存在，则称y=f(x)在点x0可导，且称该极限值为y=f(x)在点x0的导数，记0=xxdxdy等。说明：①导数的等价形式xxfxxfxfx)(-)+(lim=)(′000→0hxfhxfh)(-)+(lim=00→②∞=)(-)+(lim000→xxfxxfx,导数不存在，但称为导数为无穷大。③导函数（简称导数）左可导xxfxxfxfx)(-)+(lim=)(′000→0--、教案课程名称：高等数学编写时间：200年月日第次第2-2页右可导xxfxxfxfx)(-)+(lim=)(′000→0++。…………………………………………………………………………………………42分钟2求导数举：例①)∈(=+Nnxyn的导数注：“n”换成任意实数上述结论仍然成立。例②xysin=的导数同理可求xycos=的导数。例③)1≠,0(=aaayx的导数特别是xey=的导数。例④)1≠,0(log=aaayx的导数特别是xyln=的导数。例⑤xy=的可导性三、导数的几何意义：①曲线在x0点的切线斜率：tg=)(′0xf②过x0点的切线方程：))((′=000xxxfyy－－③过x0点的法线方程：)()(′1=000xxxfyy－－－例⑥求等边双曲线xy1=在点（1/2，2）处的切线方程及法线方程例⑦求2/3=xy通过点（0，－4）的切线方程四、函数可导性与连续性的关系可导一定连续，而连续不一定可导。（简单分析）…………………………………………………………………………………………42分钟内容小结：导数定义导数的几何意义思考题：导数与导函数的关系.作业：P856，7（3）（4）（6），11，15备注：…………………………………………………………………………………………３分钟教案课程名称：高等数学编写时间：200年月日第次第2-3页授课章节第二章导数与微分第二节导数的求导法则目的要求会求导数重点难点复合函数的求导问题复习（首先复习一下初等函数的求导公式）…………………………………………………………………………………３分钟第二节导数的求导法则一、函数的导数四则运算公式1定理1u(x),v(x)是可导函数，则=)′)(+)((xvxu推广：)′++(wvu=)′)(•)((xvxu推广：)′(uvw=)′)()((xvxu特例：()′)(xcf2举例例①735+2=23xxxy，求y′例②2sincos4+=3xxy，)2(′),1(′yy例③)cos+(sin=xxeyx，求y′例④xytg=，求y′例⑤xysec=，求y′同理可求得()()′ctg,′cscxx二、反函数的求导法则1定理2如果函数)(=yfx在区间Iy内单调、可导，且0≠)(′yf，则它的反函数)(=1-xfy在对应区间Ix内单调、可导,且)(=)′)((1=)′)((1-1-xfyyfxfyx分析：2举例教案课程名称：高等数学编写时间：200年月日第次第2-4页例⑥xyarcsin=，求y′同理可求其它三个反函数的导数。………………………………………………………………………………………42分钟三、复合函数求导法则1定理3如果)(=xgu在点x可导，)(=ufy在点)(=xgu可导，则复合函数)]([=xgfy在点x可导，且其导数为)(′)(′=xgufdxdy注：)]([′xgf与}′)]([{xgf的区别。分析：2举例,求下列各函数的y′例⑦3=xey例⑧2+12sin=xxy例⑨xysinln=例⑩322-1=xy例⑾)ln(cos=xey例⑿xey1sin=例⒀设x0,证明1-=)′(xx(可不讲)例⒁xnxynsin•sin=例⒂2e-=sh=-xxexy,2e+=ch=-xxexy(自己做)………………………………………………………………………………………42分钟内容小结：导数的求导法则思考题：常数导数为零的几何意义.作业:P966(6)(9),7(8)备注：………………………………………………………………………………………３分钟教案课程名称：高等数学编写时间：200年月日第次第2-5页授课章节第二章导数与微分第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率目的要求导数计算重点难点隐函数求导、参数方程求导复习…………………………………………………………………………………３分钟第三节高阶导数（首先复习一下初等函数的求导公式）一、高阶导数二阶导数；记法。n阶导数；记法。二、举例例①baxy+=，求y′′例②wxaysin=，求y′′例③证明函数2-2=xxy满足关系式0=1+′′3yy例④求指数函数xey=的n阶导数例⑤求xysin=的n阶导数（xycos=）例⑥求)1+ln(=xy的n阶导数例⑦xy=的n阶导数三、莱布尼茨公式iniinnvuuv∑0=)-()(=)(（只做作业中的一道题）…………………………………………………………………………………42分钟第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率一、隐函数的导数1．显函数：如2．隐函数：如3．隐函数的显化：如4．隐函数的导数：举例例7求由0exyey所确定的隐函数的导数。例8求由03275xxyx所确定的隐函数在0x处的导数。教案课程名称：高等数学编写时间：200年月日第次第2-6页例9求椭圆191622yx在点（2，233）处的切线方程。例10求由0sin21yyx所确定的隐函数的二阶导数导数。例11求xxysin的导数。求)4)(3()2)(1(xxxxy的导数。二、由参数方程所确定的函数的导数1．参数方程：)()(tytx如抛射体的运动轨迹22121gttvytvx，其中v1为水平方向初速度，v2为垂直方向初速度。2．由参数方程所确定的函数的导数分析：由)]([)(1xty可得)()(ttdxdy3．二阶导数导数（注意：二阶导数导数是把译介导函数看成是新函数，在求一次导）)(])()([22tttdxyd例7已知椭圆参数方程tbytaxsincos，求在点4t相应的点处的切线方程。例8计算参数方程)cos1()sin(tayttax的二阶导数。（可补充例题，把相关变化率放在下一次课讲）三、相关变化率教案课程名称：高等数学编写时间：200年月日第次第2-7页对于参数方程)()(tytx，dtdx与dtdy相互依赖的变化关系称为相关变化率。如500mv=140m/min(分)0500m一个气球从离开观察员500m处离地面铅直上升，其速度为140m/分当气球高度为500m时，观察员视线的仰角增加率是多少？分析：min/140,4500cos5001)(tan500tan2mvdtdydtddtdydtdy……………………………………………………………………………………42分钟内容小结：高阶导数、隐函数求导、参数方程求导思考题：若)(xf的导数存在,?2)()(limhhxfxfh作业:P963(1)，6(2)(4),8(5),P1013(1)备注：……………………………………………………………………………………３分钟教案课程名称：高等数学编写时间：200年月日第次第2-8页授课章节第二章导数与微分第五节函数的微分目的要求了解微分的计算公式及几何意义重点难点微分的计算公式复习…………………………………………………………………………………３分钟第五节函数的微分一、引例?S二、微分定义定义：设函数)(xfy在某区域内有定义，x0及x0+△x在这区间内如果函数的增量为)()(00xfxxfy可表示为)(oxxAy，其中A是不依赖于x的常数，则称函数)(xfy在点x0是可微的，xA称为函数)(xfy的微分，记dy，即xAdy。三、可微条件及计算公式函数)(xfy在点x0是可微的充分必要条件是函数)(xfy在点x0是可导，且xxfdy)(0分析：注：1．)(oxdyy，称xxfdy)(0为y的线性主部。2．y→函数增量；x→值变量增量，且xdx。3．由于)()()(000xfdxdydxxfxxfdy，称导数为微商。四、微分的几何意义（画图，简介用微分近似等于函数增量的近似计算方法。）……………………………………………………………………………………42分钟五、基本初等函数的微分公式与微分运算法则（书上P115）六、举例教案课程名称：高等数学编写时间：200年月日第次第2-9页例1求函数2xy在x=1和x=3处的微分。例2求函数3xy当02.0,2xx的微分。例3已知函数)12sin(xy，求dy。例4已知函数xeyxcos31，求dy。例5在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。（1）d()=xdx（1）d()=coswxdx七、微分在近似计算中的应用（略）……………………………………………………………………………………42分钟内容小结：函数的微分思考题：什么叫一阶微分形式不变性.作业:P1221,3(1)(2)(4),4(2)(4)备注：……………………………………………………………………………………３分钟