函数定义域的求法整理(整理详细版)

函数定义域的求法整理一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例1求函数8|3x|15x2xy2的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足②①08|3x|015x2x2由①解得3x或5x。③由②解得5x或11x④③和④求交集得3x且11x或x5。故所求函数的定义域为}5x|x{}11x3x|x{且。例2求函数2x161xsiny的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足②①0x160xsin2由①解得Zkk2xk2，③由②解得4x4④由③和④求公共部分，得x0x4或故函数的定义域为]0(]4(，，二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知)x(f的定义域，求)]x(g[f的定义域。（2）其解法是：已知)x(f的定义域是［a，b］求)]x(g[f的定义域是解b)x(ga，即为所求的定义域。例3已知)x(f的定义域为［－2，2］，求)1x(f2的定义域。解：令21x22，得3x12，即3x02，因此3|x|0，从而3x3，故函数的定义域是}3x3|x{。（2）已知)]x(g[f的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知)]x(g[f的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由bxa，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例4已知)1x2(f的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。解：因为51x234x222x1，，。即函数f(x)的定义域是}5x3|x{。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5已知函数8mmx6mxy2的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明0m8mx6mx2，使一切x∈R都成立，由2x项的系数是m，所以应分m=0或0m进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当0m时，08mmx6mx2是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是1m00)8m(m4)m6(0m2综上可知1m0。评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。例6已知函数3kx4kx7kx)x(f2的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须3kx4kx2≠0恒成立，因为)x(f的定义域为R，即03kx4kx2无实数①当k≠0时，0k34k162恒成立，解得43k0；②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。求函数的定义域。解：设矩形一边为x，则另一边长为)x2a(21于是可得矩形面积。2xax21)x2a(21xyax21x2。由问题的实际意义，知函数的定义域应满足0x2a0x0)x2a(210x2ax0。故所求函数的解析式为ax21xy2，定义域为（0，2a）。例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。因为CD=AB=2x，所以xCD，所以2xx2L2CDABLAD，故2x2xx2Lx2y2Lxx)22(2根据实际问题的意义知2Lx002xx2L0x2故函数的解析式为Lxx)22(y2，定义域（0，2L）。五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例9已知)x(f的定义域为［0，1］，求函数)ax(f)ax(f)x(F的定义域。解：因为)x(f的定义域为［0，1］，即1x0。故函数)x(F的定义域为下列不等式组的解集：1ax01ax0，即a1xaa1xa即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当0a21时，F（x）的定义域为}a1xa|x{；（2）当21a0时，F（x）的定义域为}a1xa|x{；（3）当21a或21a时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例10求函数)3x2x(logy22的单调区间。解：由03x2x2，即03x2x2，解得3x1。即函数y的定义域为（－1，3）。函数)3x2x(logy22是由函数3x2xttlogy22，复合而成的。4)1x(3x2xt22，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间]1(，上是增函数；在区间)1[，上是减函数，而tlogy2在其定义域上单调增；3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，，所以函数)3x2x(logy22在区间]11(，上是增函数，在区间)31[，上是减函数。