高中数学必修五考点及典型例题

必修五第一章解三角形一、考点列举1、正弦定理的理解与应用2、余弦定理的理解与应用二、常考题型1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单三角形★例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：（1）应用S=21acsinB，得S=2114.823.5sin148.5≈90.9(cm2)(2)根据正弦定理，Bbsin=Ccsinc=BCbsinsinS=21bcsinA=21b2BACsinsinsinA=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5S=213.1627.62sin5.51sin8.65sin≈4.0(cm2)(3)根据余弦定理的推论，得cosB=cabac2222=4.417.3823.274.417.38222≈0.7697sinB=B2cos1≈27697.01≈0.6384应用S=21acsinB，得S≈2141.438.70.6384≈511.4(cm2)★★例2、在ABC中，求证：（1）;sinsinsin222222CBAcba（2）2a+2b+2c=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设Aasin=Bbsin=Ccsin=k显然k0，所以左边=CkBkAkcba222222222sinsinsin=CBA222sinsinsin=右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bcbcacb2222+cacabac2222+ababcba2222)=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边2、利用正余弦定理测量和几何计算有关的实际问题.★★例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01nmile)解：在ABC中，ABC=180-75+32=137，根据余弦定理，AC=ABCBCABBCABcos222=137cos0.545.6720.545.6722≈113.15根据正弦定理,CABBCsin=ABCACsinsinCAB=ACABCBCsin=15.113137sin0.54≈0.3255,所以CAB=19.0,75-CAB=56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15nmile★★例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=103，ADC=180-4，2sin310=)4180sin(30。因为sin4=2sin2cos2cos2=23,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE=x，AE=h在RtACE中,(103+x)2+h2=302在RtADE中,x2+h2=(103)2两式相减，得x=53,h=15在RtACE中,tan2=xh310=332=30,=15答：所求角为15，建筑物高度为15m第二章数列一、考点列举1、数列的概念和简单表示法2、等差数列的概念及其表示3、等比数列的概念及其表示4、简单数列求和二、常考题型1、等差数列、等比数列的概念.★例1已知数列{na}的通项公式qpnan，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定na是不是等差数列，只要看1nnaa（n≥2）是不是一个与n无关的常数。解：当n≥2时,（取数列na中的任意相邻两项1na与na（n≥2））])1([)(1qnpqpnaannpqppnqpn)(为常数∴{na}是等差数列，首项qpa1，公差为p。★例2在等差数列{na}中，若1a+6a=9,4a=7,求3a,9a.分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……解：∵{an}是等差数列∴1a+6a=4a+3a=93a=9－4a=9－7=2∴d=4a－3a=7－2=5∴9a=4a+(9－4)d=7+5*5=32∴3a=2,9a=32★★例3.已知cba,,依次成等差数列，求证：abcacbbca222,,依次成等差数列.分析：要证三个数abcacbbca222,,成等差数列，只需证明等式：)()()()(2222acbabcbcaacb，即证)()()(2222abcbcaacb成立.证明：cba,,成等差数列，dacdbcab2,（设其公差为d），dbcdba,，)()()()()()(2222bccbaabccabaabcbca.22)(2dddacdcdad又222222)())((ddbbdbdbbacb，)(2)()(222acbabcbca，abcacbbca222,,成等差数列.★★例4、等差数列na中：（1）如果5,1185aa，求数列的通项公式．（2）如果,1171715951aaaaa求.113aa分析：（1）求等差数列的通项公式只要求da、1两个量即可．解：（法1）由题意),2()1(192195711411815nadadaadaan故数列的通项公式为.221nan（法2）194,2311511558adaaddaa，故.221nan分析：（2）显然不能通过已知条件求出数列的通项公式，只有寻找已知条件和所求问题的关系．解：,117611711715951daaaaaa而.234)6(212211113dadaaa★★例5、等比数列na中128,666372aaaa，求等比数列的通项公式na．分析：求等比数列的首项为1a，q两个参数即可．解：（法1）设等比数列的道项为1a，公比为q，由题意.128,66128667216216372qaqaqaaaaa以下求解1a，q不易找到思路．转换思路，利用等和列的性质，不难得以下解法．（法2）设等比数列的首项为1a,公比为d，由题意.128,661286672726372aaaaaaaa故72,aa为方程0128662xx的两个根．解得64272aa或21264172qaaa或.21,1281qa所以数列通项公式为12nna或.28nna★★例6、在等比数列na中，已知2031aa，4042aa，求该数列的第11项11a．分析：首先根据已知条件求出等比数列的通项．解：设首项为1a，公比为q，则)2(40)1(20311211qaqaqaa)1()2(得：2q，将2q代入（1），得41a，所以，4096)2()4(1010111qaa2、等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.★★例1、在等差数列na中，已知34151296aaaa，求前20项之和．分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求1a，d求解；也可以用等差数列的性质求解．解：法一由343841151296daaaaa.由daS2192020120da190201)384(51da345170法二由)(10202)(20120120aaaaS，而201129156aaaaaa，所以17201aa，所以170171020a★★例2、等差数列na和nb的前n项和分别为nS和nT，若对一切正整数n都有1223nnTSnn，求1111ba的值.分析：由nS、nT的通项公式可求得na、nb的通项公式，利用等差数列前n项和公式的特点先假设公式的形式.解法一：令nnnnTnnnnSnn222)12(,23)23(，则当*,2Nnn时，有14,5611nTTbnSSannnnnn，所以.4361111451161111ba解法二：.43611212221322)(21)(21222121212121121121121111111111TSTSbbaabbaababa★★例3、设na为等差数列，nS为数列na的前n项和，已知77S，7515S，nT为数列nSn的前n项和，求nT．分析：由题设条件，不难求出1a和d，从而可得nS，再进一步探求nSn，看能否与等差或等比数列沟通．解：设等差数列na的公差为d，则dnnnaSn)1(211由77S，7515S，得,7510515,721711dada即,57,1311dada解得21a，1d.)1(212)1(211ndnanSn2111nSnSnn数列nSn是首项为2，公差为21的等差数列，故nnTn49412．3、具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.★★例1、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需用24小时；但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕，如果第一台收割时间是最后一台的5倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间．分析：这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列，按所规定的方法收割，所需要的时间等于第一台收割机所需的时间，即求数列的首项解：设从每台投入工作起，这n台收割机工作的时间依次为1a，2a，3a，…，na小时．依题意，na是一个等差数列，且每台收割机每小时的工作效率为n241，则有)2(1242424)1(,5211nananaaann由（2），得naaan2421，即naann242)(1，亦即481naa（3）由（1），（3）得401a故用这种方法收割完这片土地上的全部小麦共需40小时．★★例2、从盛满a升（1a）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．问第n次操作后溶液的浓度是多少？若2a，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于%10？分析：这是一道数学应用题．解决应用问题的关键是建立数学模型，使实际问题数学化．