图解虚数---什么是虚数

图解虚数什么是虚数首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。这相当于两次逆时针旋转90度。因此，我们可以得到下面的关系式：(+1)*(逆时针旋转90度)*(逆时针旋转90度)=(-1)如果把+1消去，这个式子就变为：(逆时针旋转90度)^2=(-1)将逆时针旋转90度记为i：i^2=(-1)这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。所以，我们可以知道，虚数i就是逆时针旋转90度，i不是一个数，而是一个旋转量。复数的定义既然i表示旋转量，我们就可以用i，表示任何实数的旋转状态。将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。只要确定横坐标和纵坐标，比如(1,i)，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用+号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把(1,i)表示成1+i。这种表示方法就叫做复数（complexnumber），其中1称为实数部，i称为虚数部。为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。虚数的作用：加法虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。比如，物理学需要计算力的合成。假定一个力是3+i，另一个力是1+3i，请问它们的合成力是多少？根据平行四边形法则，你马上得到，合成力就是(3+i)+(1+3i)=(4+4i)。这就是虚数加法的物理意义。虚数的作用：乘法如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。比如，一条船的航向是3+4i。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？45度的航向就是1+i。计算新航向，只要把这两个航向3+4i与1+i相乘就可以了（原因在下一节解释）：(3+4i)*(1+i)=(-1+7i)所以，该船的新航向是-1+7i。如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是i，所以新航向等于：(3+4i)*i=(-4+3i)这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。虚数乘法的数学证明为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？下面就是它的数学证明，实际上很简单。任何复数a+bi，都可以改写成旋转半径r与横轴夹角θ的形式。假定现有两个复数a+bi和c+di，可以将它们改写如下：a+bi=r1*(cosα+isinα)c+di=r2*(cosβ+isinβ)这两个复数相乘，(a+bi)(c+di)就相当于r1*r2*(cosα+isinα)*(cosβ+isinβ)展开后面的乘式，得到cosα*cosβ-sinα*sinβ+i(cosα*sinβ+sinα*cosβ)根据三角函数公式，上面的式子就等于cos(α+β)+isin(α+β)所以，(a+bi)(c+di)＝r1*r2*(cos(α+β)+isin(α+β))这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。