2020届高考数学：解三角形常见题型及技巧-学案(含习题)

1高考解三角形常见题型及技巧【基础知识】1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R其中2R为△ABC外接圆直径。变式1：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC。变式2：sin2aAR，sin2bBR，sin2cCR变式3：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC。2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。（边换角后）sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA。变式1：cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab。变式2：a2＝（b＋c）2－2bc（1+cosA）（题目已知b＋c，bc或可求时常用）3．解三角形（知道三个元素，且含有边）(1)已知三边a，b，c或两边a，b及夹角C都用余弦定理(2)已知两边a，b及一边对角A,一般先用正弦定理，求sinB，sinB＝bsinAa。(3)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。4．三角形常用面积公式(1)S＝12a·h。(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝abc4R。(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)。5.在△ABC中，常有以下结论：1．∠A＋∠B＋∠C＝π。2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。3．sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2。4.大边对大角，大角对大边（若A不是最大角，则A一定是锐角）5.中线定理、角平分线定理2【解题技巧】1、题目中给出等式时：先观察是否存在边的齐次、角正弦的齐次，然后进行边、角互化如“ab”可转化为“sinsinAB”等（也可角化边），如“22ab”不可转化为“2sin2sinAB”.2、等式中同时出现A,B,C三个角时，一定是会把一个角化掉（或另两个角合并成一个角），用另外两角代替，再展开，例：sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，则把B化掉，sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝0，展开后sinC(sinA＋cosA)＝0，sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，3、题目中出现化简时，①出现同角正余弦相乘、半角2A，用二倍角公式化简，例如AAA2sin21cossin,2cos12cos2AA，②出现sinAcosC＋sinCcosA时，可以合并为sin(A+C)4、求两个角倍数的加减运算的正余弦值时，一般展开计算，把每个角的正余弦算出来，例如：求sin(2A－B)=sin2AcosB－cos2AsinB，然后把算出的B,2A的正余弦值代入，即可求得。5、代换思想①边之比与角之比可以互化，即BAsinsinba，注意题目求值时可以互化求值②等式中出现平方项（2a）或两边乘积（bc）时，一般用余弦定理代换或求解，例：出现2b+2c-2a时，用2bccos替换③当等式中出现同角的正余弦且求其中一个值时，考虑平方，然后用平方和等于1代换调，用解方程的方法解出。例sin41cosBB，两边平方，整理得217cos32cos150BB，解得cos1B，15cos17B6、第三边上一点与顶点连线，经常用到以这个点为顶点的角的正弦值相等，余弦值相反列等式。7、面积、范围问题：①建立如“22,,ababab”之间的等量关系与不等关系，可以通过均值不等式、三角函数有界性求出，②全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()yAxb，从而求出范围。3【例题讲解】【例1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinB2－cosB2＝14。(1)求cosB的值；(2)若b2－a2＝314ac，求sinCsinA的值。解析：（1）出现半角，想到用倍角公式，所以需要平方（2）出现平方运算，且有ac，想到用余弦定理。求角之比=求边之比【解】将sinB2－cosB2＝14两边同时平方得，1－sinB＝116，得sinB＝1516，故cosB＝±3116，又sinB2－cosB2＝140，所以sinB2cosB2，所以B2∈π4，π2，所以B∈π2，π，故cosB＝－3116。(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋314ac，所以314a＝c－2acosB＝c＋318a，所以c＝318a，故sinCsinA＝318。【例2】（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC△中，5cos25C，1BC，5AC，则ABA．42B．30C．29D．25【解析】出现半角2C用倍角公式，求出cosC,然后知道两边一角，余弦定理因为所以.【答案】A【例3】4（2019新课标全国Ⅲ理科）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知AbCAasin2sin（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围。【解析】（1）首先边齐次进行代换，然后2cos2sinBCA化简（2）已知一个角和一条边，求面积取值范围，把面积化为关于角的一个式子求出。【例4】（2017新课标全国Ⅰ理科）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC△的面积为23sinaA.（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC△的周长.【解析】（1）由题设得21sin23sinaacBA，即1sin23sinacBA.由正弦定理得1sinsinsin23sinACBA.5故2sinsin3BC.（2）由题设及（1）得1coscossinsin2BCBC，即1cos()2BC.所以2π3BC，故π3A.由题设得21sin23sinabcAA，即8bc.由余弦定理得229bcbc，即2()39bcbc，得33bc.故△ABC的周长为333.【答案】（1）23；（2）333.【例5】（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2sin8sin2BAC．（1）求cosB；（2）若6ac，ABC△的面积为2，求b．【解析】（1）同时出现三个角时，都会用到sin=sinAB（）(C)进行代换，出现2B时，用倍角公式代换，1cos2sin21cos222（2）已知ac，cosB可求ac用变形公式2221cosbacacB【解】（1）由题设及ABC，可得2sin8sin2BB，故sin41cosBB．上式两边平方，整理得217cos32cos150BB，解得cos1B(舍去)，15cos17B．（2）由15cos17B得8sin17B，故14=sin217△ABCSacBac．又=2ABCS△，则172ac．由余弦定理及6ac得：222217152cos21cos362(1)4,217bacacBacacB所以2b．6【例6】（2016新课标全国Ⅰ理科）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos(coscos).CaB+bAc（I）求C；（II）若7,cABC△的面积为332，求ABC△的周长．【解析】（1）出现等式，首先观察是否齐次，能否边角互化，等式中边能化角，再化解（2）根据面积求出ab，然后已知c，只需再求a+b【解】（I）由已知及正弦定理得2cossincossincossinCΑΒΒΑC，2cossinsinCΑΒC．故2sincossinCCC．可得1cos2C，所以π3C．（II）由已知，133sin22abC．又π3C，所以6ab．由已知及余弦定理得，222cos7ababC．故2213ab，从而225ab．所以ΑΒC△的周长为57．7练习1．在ABC△中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知31c，2b，π3A，则BA．3π4B．π6C．π4D．π4或3π42．已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,且2coscoscos.CaBbAc1,3ab,则cA．3B．22C．7D．63．已知ABC，，是ABC△的内角，abc，，分别是角ABC，，的对边.若222cossinsinsincosBAABC,（1）求角C的大小；（2）若π6A，ABC△的面积为3，M为BC的中点，求AM.4．ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且3cossinaBbA.（1）求角B；（2）若D为BC的中点，2,7ABAD，求ABC△的面积.5．已知ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且ABC△的面积23S，7ba，120Bo.（1）求b、c的值；（2）证明：tan10SA.8答案1．【答案】C【解析】π31,2,3cbA，由余弦定理可得：2222cos4312316abcbcA，由正弦定理可得：32sin22sin26bABa，,ba∴B为锐角，π4B．2．【答案】C【解析】由题2coscoscosCaBbAc，由正弦定理得2cossincossincossinCABBAC，所以2cossinsinCABC即2cossinsinCCC，所以在ABC△中1cos2C.又因为2221cos,1,322abcCabab.所以7c，3．【解析】（1）由222cossinsinsincosBAABC，得222sinsinsinsinsinAABCB，由正弦定理，得222cbaab，即222abcab，所以2221cos222abcabCabab，又0πC，则2π3C.（2）因为π6A，所以π6B.所以ABC△为等腰三角形，且顶角2π3C.因为13sin324ABCSabCab△，所以2a.9在MAC△中，2AC，1CM，2π3C，所以2222cosAMACCMACCMC1=4+1+221=72.解得7AM.4．【解析】（1）3cossinaBbA3sincossinsin,tan3ABBAB，60B.（2）设BDx，22+222cos607ABDxx在△中，由余弦定理：，解得：3-1x或（舍），6BC，126sin332ABCSB△.5.【解析】（1）由余弦定理2222cosbacacB及7ba，120Bo，得2227aacac，故2260aacc，故(2)(3)0acac，故2ca.又ABC△的面积为23，所以213sin2322acBa，解得2a，故27b，4c.（2）在ABC△中，由正弦定理sinsinabAB，得21sinsin14aABb，又120Bo，所以A是锐角，故217557cos1sin19614AA，所以sin213tancos557AAA，因为23S，所以tan10SA.10