最新名校2020高考解析几何大题四(4.4日)

解析几何大题四（范围最值）1．已知,QR是椭圆2222:1(0)xyCabab的左右顶点，P点为椭圆C上一点，点P关于x轴的对称点为H，且12PQRHkk.（1）若椭圆C经过圆22(1)4xy的圆心，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，若过点(2,0)M的直线与椭圆C相交于不同的,AB两点，设P为椭圆C上一点，且满足OAOBtOP（O为坐标原点），当25||3AB时，求实数t的取值范围.2．已知椭圆E：的一个焦点为，长轴与短轴的比为2：1．直线l：y＝kx+m与椭圆E交于P、Q两点，其中k为直线l的斜率．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，问：是否存在一个以坐标原点O为圆心的定圆O，不论直线l的斜率k取何值，定圆O恒与直线l相切？如果存在，求出圆O的方程及实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．3．椭圆C的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，过坐标原点的直线l交C于P，Q两点，|PF1|+|QF2|＝4，△PQF1面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）M是椭圆上与P，Q不重合的一点，证明：直线MP，MQ的斜率之积为定值；（3）当点P在第一象限时，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G，求△PQG的面积的最大值．4．已知椭圆2222:1,0xyCabab的两个焦点1F，2F，离心率为63，2ABF的周长等于43，点A、B在椭圆上，且1F在AB边上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过圆22:4Oxy上任意一点P作椭圆的两条切线PM和PN与圆O交与点M、N，求PMN面积的最大值.5．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为12，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若过点(0,)Pm的直线l与椭圆C交于不同的两点,AB，且3APPB，求实数m的取值范围．6．已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，点（2，4）在抛物线C2上．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M（0，2），直线AM与BM的斜率乘积为﹣，若在椭圆上存在点N，使|AN|＝|BN|，求△ABN的面积的最小值．7.已知椭圆O：+＝1（a＞b＞0）过点（，﹣），A（x0，y0）（x0y0≠0），其上顶点到直线x+y+3＝0的距离为2，过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M、N，且＝2．（1）证明：|MN|为定值；（2）如图所示，若A，C关于原点对称，B，D关于原点对称，且＝λ，求四边形ABCD面积的最大值．解析大题四答案1．（1）2212xy（2）2623t或2623t（1）设(,)Pxy，因为(,0),(,0)QaRa，则点P关于x轴的对称点(,)Hxy.PQykxa，RHykax，又由椭圆的方程得222222221xbybaxaa，所以2222212PQRHybkkaxa，又椭圆C过圆22(1)4xy的圆心(0,1)，所以22a，21b，所以椭圆C的标准方程为2212xy；（2）由题意可知直线AB的斜率存在，设:(2)ABykx，11,Axy，22,Bxy，00,Pxy由22(2)12ykxxy得：2222128820kxkxk由42264421820kkk，得：21(*)2k2122812kxxk，21228212kxxk.25||3AB，222121212251143kxxkxxxx4222226482201412912kkkkk，214k，结合（*）得：21142k.OAOBtOP，121200,,xxyytxy.从而21202812xxkxttk，12012214412yykykxxktttk.∵点P在椭圆上，2222284221212kktktk，整理得：2221612ktk即228812tk，2843t，2623t或2623t.2.解：（I）c＝，2a：2b＝2：1，a2＝b2+c2．解得：a＝2，b＝1，∴椭圆E的方程为．（II）解法一：假设存在定圆O，不论直线l的斜率k取何值时，定圆O恒与直线l相切．这时，只需证明坐标原点O到直线l的距离为定值即可．设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程，消去y整理得：（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4＝0，△＝（2km）2﹣4（4+k2）（m2﹣4）＞0，得：k2﹣m2+4＞0，①，∵以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，∴，∴．化简得：4k2＝5m2﹣4，②此时，坐标原点O到直线l距离d为：．由坐标原点O到直线l的距离为定值知，所以存在定圆O，不论直线l的斜率k取何值时，定圆O恒与直线l相切，定圆O的方程为：．得m的取值范围是．解法二：假设存在定圆O，不论直线l的斜率k取何值时，定圆O恒与直线l相切．这时，只需证明坐标原点O到直线l的距离为定值即可．设直线OP的方程为：y＝tx，P点的坐标为（x0，y0），则y0＝tx0，联立方程组∴，①∵以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，∴OP⊥OQ，直线OQ的方程为：．∴在①式中以换t，得……②又由OP⊥OQ知：设坐标原点O到直线l的距离为d，则有|PQ|d＝|OP||OQ|，∴．又当直线OP与y轴重合时，P（0，±2），Q（±1，0）此时．由坐标原点O到直线l的距离为定值知，所以存在定圆O，不论直线l的斜率k取何值时，定圆O恒与直线l相切，定圆O的方程为：．直线l与y轴交点为（0，m），且点（0，m）不可能在圆O内，又当k＝0时，直线l与定圆O切于点，所以m的取值范围是．3．解：（1）因为这些l过坐标原点，又椭圆关于原点对称，所以PF1∥QF2且PF1＝QF2，∴四边形F1QF2P是平行四边形，三角形PQF1的面积等于三角形PF1F2，由题意得当三角形PQF1，即三角形PF1F2，最大时则P在椭圆的短轴的顶点处，所以由|PF1|+|QF2|＝4可得2PF1＝4，∴PF1＝2即这时：a2＝b2+c2＝4，且＝2，所以a2＝4，b2＝2，所以椭圆C的方程：＝1；（2）设P（x'，y'），Q（x，y），x'＝﹣x，y'＝﹣y，M（m，n），kPM＝，kQM＝＝，∴kPM•kQM＝＝﹣；（3）设直线PQ的方程：y＝kx（k＞0），由题意得：E（x，y），kGQ＝kQE＝＝＝，由（2）得，kPG＝﹣，∴PG⊥PQ，即△PQG时直角三角形，联立直线PQ与椭圆方程整理得：（1+2k2）x2＝4，解得：x'＝，y'＝，则直线PG：y＝﹣（x﹣x'）+y'＝﹣x+x'+kx'＝﹣x+x'，联立直线PG与椭圆的方程整理得：（1+）x2﹣x+﹣4＝0∴x'+m＝，S△PQG＝y'（x'+m）＝kx'•＝＝，令t＝k+≥2，∴S△PQG＝＝，∵（2t+）min＝，∴S△PQG的最大值为．4．（1）2213xy；（2）PMNS最大值为4.（1）2ABF的周长等于43，点A、B在椭圆上，且1F在AB边上.443a，即3a又离心率63cea2c，则222321bac椭圆C的标准方程为：2213xy（2）设,ppPxy，则224ppxy当两条切线中有一条切线的斜率不存在时，即3px，1py，则另一条切线的斜率为0，从而PMPN.112232322PMNSPMPN当切线斜率都存在，即3px时，设过点P的椭圆的切线方程为ppyykxx则2213ppyykxxxy，即222316330ppppkxkykxxykx则2226431330ppppkykxkykx即2223210ppppxkxyky设切线PM和PN的斜率分别是1k，2k.则1k，2k为方程2223210ppppxkxyky的两根即2221222214131333ppppppxyxkkxxx从而PMPN，则线段MN为圆O直径，4MN2222111114422244PMNSPMPNPMPNMN当且仅当PMPN时，等号成立，PMNS取得最大值为4.综上所述，PMNS取得最大值为4.5．（Ⅰ）22143xy；（Ⅱ）33(3,][,3)22．（Ⅱ）若过点(0,)Pm的斜率不存在，则32m．若过点(0,)Pm的直线斜率为k，即32m时，直线AB的方程为ymkx．由22222{(34)841203412ykxmkxkmxmxy．于是2222644(34)(412)mkkm．因为AB和椭圆C交于不同两点，所以，22430km，所以2243km．①设1122(,),(,)AxyBxy．由已知3APPB，则21212228412,3434kmmxxxxkk．②1122(,),(,)APxmyPBxym，所以123xx③将③代入②,得222244123()3434kmmkk．整理得22221612390mkkm．所以222931612mkm,代入①式,得2222934343mkmm．即2224(3)043mmm，解得2334m．所以332m或332m．综上可得，实数m的取值范围为33(3,][,3)22．6．解：（1）∵点（2，4）在抛物线y2＝2px上，∴16＝4p，解得p＝4，∴椭圆的右焦点为F（2，0），∴c＝2，∵椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴＝，∴a＝2，∴b2＝a2﹣c2＝8﹣4＝4，∴椭圆C1的方程为+＝1，（2）设直线l的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，y1y2＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝∵M（0，2），直线AM与BM的斜率乘积为﹣，∴k1•k2＝•＝＝＝﹣，解得m＝0，∴直线l的方程为y＝kx，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB|＝＝，∵|AN|＝|BN|，∴ON垂直平分线段AB，当k≠0时，设直线ON的方程为y＝﹣x，同理可得|ON|＝＝，∴S△ABN＝|ON|•|AB|＝8，当k＝0时，△ABN的面积也适合上式，令t＝k2+1，t≥1，0＜≤1，则S△ABN＝8＝8＝8，∴当＝时，即k＝±1时，S△ABN的最小值为．7.（1）证明：其上顶点（0，b）到直线x+y+3＝0的距离为2，∴，解得b＝1．又椭圆O：+＝1（a＞b＞0）过点（，﹣），∴＝1，解得a2＝4．∴椭圆的标准方程为：＝1．点A在椭圆上，∴＝1．设经过点A的直线方程为：y﹣y0＝k（x﹣x0），可得M，N（0，y0﹣kx0）．∵＝2，∴﹣x0＝，即k＝﹣．∴|MN|＝＝＝3为定值．（2）解：①k≠±，0．由（1）可得：k＝﹣．∵＝λ，∴kOB＝k≠0，k≠±．∴＝＝﹣2．∴kOA＝﹣k．联立，化为：x2＝，y2＝，可得：|OB|2＝．联立，解得x2＝，y2＝，∴|OA|2＝．设∠AOx＝α，∠BOx＝β．∴tan∠BOA＝tan（β﹣α）＝＝．设S四边形ABCD＝S．sin2∠BOA＝＝＝．S2＝16××|OA|2•|OB|2×sin2∠BOA＝4×××＝＝≤16．∴S≤4，当且仅当k2＝时取等号．②k＝±时，OA⊥OB，可得S2＝4××