最新湘教版3.4.1-相似三角形的判定(1)精编版

第3章图形的相似3.4.1相似三角形的判定(1)湘教版·九年级上册对应角_______,对应边——————的两个三角形,叫做相似三角形.相等成比例相似三角形的———————,各对应边——————。对应角相等成比例∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠FEFBCDFACDEAB△ABC∽△DEFABCDFE即:=kDFACEFBCDEABk1两三角形相似k=1两三角形全等1.相似三角形的定义：2.相似三角形的性质：3.相似比：相似三角形的_______________叫作相似比。对应边的比判定判定性质如图3-14，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E（1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？（2）分别度量各边长，它们的边长是否对应成比例？（3）△ADE与△ABC之间的什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？动脑筋AECBD图3-14我发现只要DE//BC，那么ABC∽△DEF.下面我们来证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A,∵DE∥BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C如图3-15，过点D作DF∥AC,交BC于F.∵DE∥BC,DF∥AC.CBCFABADACAEABAD,∵四边形DFCE为平行四边形∴DE=FCBCDEACAEABAD∴△ADE∽△ABC探究AECBD图3-15FBCDEABAD由此得到如下结论：平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似.ＡＢＣＤＥ如图，在△ABC中，若D为AB的延长线上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E，△ADE与△ABC相似吗？DECBA(1)(2)分析：∵BC//DE,∴△ABC∽△ADE.即△ADE∽△ABC.分析：在AB上截取AD1=AD,过点D1作D1E1//DE交AC于点E1，则△ADE≌△AD1E1.又∵DE//BC,∴D1E1//BC,∴△AD1E1∽△ABC∴△ADE∽△ABC.D1E1由此得到如下结论：平行于三角形一边的直线与其它两边的延长线相交，截得的三角形与原三角形相似.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似.∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC用几何语言表示：平行线截三角形相似定理结论ＡＢＣＤＥDECBAAECBD注意：在三角形中，见平行得相似.例1如图，在△ABC中，已知D,E分别是AB,AC边的中点。求证：(1)△ABC∽△ADE;(2)AD.AC=AE.AB证明(1)∵D,E分别是AB,AC边的中点，∴DE∥BC∴△ABC∽△ADEAECBD∴DE是△ABC的中位线，,ACAEABAD(2)∵△ABC∽△ADE...ABAEACAD注意：要证明两条线段的比或乘积相等，一般先证明它们所在的两个三角形相似，再利用根据相似三角形的对应边成比例得出结论.例2如图，D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC,交AC于点E，延长DE至点F，使DE=EF,求证：△CFE∽△ABC证明：∵DE∥BC,点D为AB的中点,∴AE=CE.又∵DE=FE,∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴△CFE∽△ABCAECBDF相似的传递性(平行线等分线段定理)1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,正方形EFCD的三个顶点，E,F,D分别在边AB,BC,AC上，已知AC=7.5,BC=5.求正方形的边长。练习解:△ADE∽△ACB.∵∠C=900,四边形EFCD为正方形，∴ED∥BC,∴∴ADED.ACBC设正方形EFCD的边长为x,则有:75755.xx.答：正方形EFCD的边长为3.3x.解得xx2.如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE//CB,OF//CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.∴△AEO∽△ABC，∠AEO=∠B,∠AOE=∠ACB∴四边形AEOF∽四边形ABCD.∵OE∥BC，解：,ACAOBCEOABAE又∵OF∥DC，∴△AFO∽△ADC，,ACAODCFOADAF∠AFO=∠D,∠AOF=∠ACD,ADAFDCFOBCEOABAE∠AOE+∠AOF=∠ACB+∠ACD即∠EOF=∠BCD又∵∠EAF=∠BAD3.如右上图，AB//GH//CD,点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，求GH的长。DCGHBA