高考中集合及其相关运算复习讲义

精选欢迎下载第一讲集合的概念及运算一、知识清单1、元素与集合（1）元素与集合的关系aa属于，记为A不属于,记为A（2）集合中元素的特征（3）集合的分类：有限集、无限集。特别的，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做（4）常用的数集及其表示符号名称非负整数集（自然数集）正整数集整数集有理数集实数集符号NNN或者ZQR(5)集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图法2、集合间的关系自然语言描述符号语言描述Venn图表示子集如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，那么集合A是集合B的子集)ABBA（或者确定性一个集合中元素必须是确定的，即一个集合一旦确定了，某个元素要素是集合中元素，要么不是集合中元素，判断涉及的总体是否构成集合互异性集合中元素必须是互异的，对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的，判断集合是否正确，或者求集合中的未知元素无序性集合与其中的元素排列顺序无关，用来判断两个集合的关系BA精选欢迎下载真子集如果集合A是集合B的子集，但存在元素属于B且不属于A，则称集合A是集合B的真子集AB集合相等集合A与集合B中元素相同，那么就说集合A与集合B相等BA3、集合间的运算自然语言描述符号语言描述Venn图示表示并集对于给定的两个集合，对于所有属于A或者属于B的元素组成的集合BxAxxBA或,|交集对于两个集合A、B，由所有属于A且属于B的元素组成的集合BxAxxBA且|补集对于集合A，由全集U中所有属于U但不属于A的元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记做ACUAxUxxACU且,|4、集合间的逻辑关系交集ABABBAAAAAABBA精选欢迎下载并集ABABBAAAAAABBA补集AACCUU)(UCUUCUAACUUAACU5、两个常用结论BABBABAABA,6、设有限集合A，)()(NnnAcard,则有（1）A的子集个数是n2（2）A的真子集个数是12n（3）A的非空子集个数是1-2n（4）A的非空真子集个数是22n二、突破方法方法1数轴与韦恩图在解题中的应用数轴和韦恩图是进行交并补运算的有力工具，数形结合是解答集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能的借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的方法解决。例：设集合RxxxNRxxxM,1|,,0|2,则NMA.10，B.)10[，C.]10(，D.)1,0(方法2利用分来谈论研究集合问题1、注意空集的特殊性，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性2、在解含参变量的有关集合问题时，有时需对参变量进行分类讨论，同时在解题时，最容易忽略集合元素的互异性，从而导致解题的失误，因此求出参变量后，一定要带入检验。3、分类讨论要注意分类的标准和层次的划分，做到标准合理、自然，层次划分明确、清晰，对讨论的问题分类做到不重不漏。例：已知集合},210{，，A则集合},|{AyAxyxB中元素个数是精选欢迎下载A.1B.3C.5D.9三、例题精析考点一子集、真子集【例题1】：集合}1,0,1{共有个子集【答案】：8【解析】：n元集的子集个数共有2n个，所以是8个。【例题2】：设集合},412|{ZkkxxM，},214|{ZkkxxN，则（A）NM（B）NM（C）NM（D）NM【答案】：B【解析】：由集合之间的关系可知，NM，或者可以取几个特殊的数，可以得到B考点二集合的简单运算【例题3】：已知集合{1,2,3},{2,3,4}MN，则A．MNB.NMC．{2,3}MND.{1,4}MN【答案】：C【解析】：根据集合的运算，正确的只有C。【例题4】：设集合1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4UAB，则)(BACU=()【答案】：}5,4,1{)(BACU【解析】：因为}3,2{BA，所以}5,4,1{)(BACU。考点三集合中含有不等式的问题【例题5】：设全集是实数集R，Mxx{|}22，Nxx{|}1，则MRCN精选欢迎下载【答案】：{2}MRCNxx。【解析】：因为}22{xxxMCU或，所以{2}MRCNxx。【例题6】：已知集合3|0|31xMxxNxxx，≤，则集合|1xx≥＝（）A．MNB．MNC．)(NMCUD．)(NMCU【答案】：D【解析】：因为}13{xxM，要达到|1xx≥只有)(NMCU。考点四集合中含有参数的问题【例题7】：设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=___________.【答案】：1【解析】：因为B中必须有3，所以1a。【例题8】：若集合|2Axx≤，|Bxxa满足{2}ABxx，则实数a的取值范围【答案】：2a【解析】：如果2a，AB，所以2a。考点五集合中信息的问题【例题9】：定义集合运算:,,.ABzzxyxAyB设1,2A,0,2B,则集合AB的所有元素之和为【答案】：6【解析】：因为{0,2,4}AB，所以2+4=6.四、课堂练习【基础型】1已知集合],43,2,1[A，那么A的真子集的个数是：精选欢迎下载（A）15（B）16（C）3（D）4答案：A解析：n元集的真子集个数共有2n-1个，所以是15个。2已知全集1,2,3,4U，集合=12A，，=23B，，则)(BACU=答案：}4{)(BACU解析：因为}3,2,1{BA，所以}4{)(BACU。3集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则)()(CCBAU=答案：}5,2{)()(CCBAU。解析：因为}5,4,3,2{)(BA，}5,2,1{CCU，所以}5,2{)()(CCBAU。【巩固型】1设集合xxxA且30{N}的真子集．．．的个数是()答案：7解析：因为A中共有三个元素，所以它的真子集为321个。2A=2137xxx，则AZ的元素的个数答案：0解析：因为A中没有元素，为空集，所以为0.3设集合|0{8}xxNU，{1,2,4,5}S，{3,5,7}T，则)(TCSU答案：}4,2,1{)(TCSU.解析：因为}8,6,4,2,1{TCU，所以}4,2,1{)(TCSU。【提高型】1已知全集{12345}U，，，，，集合2{|320}Axxx，{|2}BxxaaA，，则集合)(BACU中元素的个数为（）答案：2精选欢迎下载解析：因为}4,2,1{BA，所以}5,3{)(BACU。2设全集为R,函数2()1fxx的定义域为M,则CMR为(A)[－1,1](B)(－1,1)(C),1][1,)((D),1)(1,)(【答案】D【解析】),1()1,(],1,1[.11,0-12MRCMxx即,所以选D五、课程小结本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往以基础的形式考查，难度比较低，所以需要学生要准确的理解知识点，灵活并熟练地掌握考查的对象以及与其他知识之间的综合，集合是一种方法，重点是其他知识在集合上的应用。（1）理解集合的概念，常用的数集。（2）集合之间的关系，子集，真子集。（3）集合间的运算，交集、并集、补集。（4）理解信息题中新定义的集合关系。六、课后作业【基础型】1已知集合1,3,5,7,9U，1,5,7A，则UCA答案：{3,9}UCA解析：因为1,3,5,7,9U，所以{3,9}UCA。2设|10,|0AxxBxx，则AB=____________.答案：{10}ABxx解析：因为|1,Axx|0Bxx，所以{10}ABxx。3已知集合1,3,Am，3,4B，1,2,3,4AB则m。精选欢迎下载答案：2解析：因为1,2,3,4AB，所以A中必须有2，2m。【巩固型】1设集合22{,|1}416xyAxy，{(,)|3}xBxyy，则AB的子集的个数是答案：2解析：因为A表示椭圆上的点构成的集合，B表示指数函数上点构成的集合，由图像可知，有2个交点。2全集UAB中有m个元素，)()(BCACUU中有n个元素,若BA非空，则BA的元素个数为答案：n解析：)()(BCACUU表示A与B的公共元素个数为n个，所以BA的元素个数为n个。3集合0,2,Aa,21,Ba,若0,1,2,4,16AB,则a的值为()答案：4a解析：因为0,1,2,4,16AB，所以A或B中必须有4，根据集合的性质，4a。4设常数aR，集合{|(1)()0},{|1}AxxxaBxxa，若ABR，则a的取值范围为（）(A)(,2)(B)(,2](C)(2,)(D)[2,)答案B．解析:与x轴有交点（1，0）（a，0）而a−1a所以只要a−1≤1即可，因此a≤2【提高型】1设{|Unn是小于9的正整数｝，{}AnUn是奇数}，{}BnUn是3的倍数｝，则)(BACU___答案：}8,4,2{)(BACU精选欢迎下载解析：因为{1,2,3,4,5,6,7,8}U，{1,3,5,6,7}AB，所以}8,4,2{)(BACU。2已知集合{1,2,3,4,5}A,{(,),,}BxyxAyAxyA；,则B中所含元素的个数为（）答案：10解析：5,1,2,3,4xy，4,1,2,3xy，3,1,2xy，2,1xy共10个3设R,ba，集合abbababa则,,,0,,1（）答案：2解析：由bababa,,0,,1可知，1,1ba，得2ab。4设集合{1,2,3,4,5,6},{4,5,6,7,8}AB，则满足SA且SB的集合S的个数为答案：56解析：A的子集个数为64个，{1,2,3}的子集个数为8个，所以64-8=56.5设集合Ax||x-a|1,xR,|15,.ABBxxxR若，则实数a的取值范围是答案：60aa或解析：因为{11}Axaxa,{15}Bxx,AB,所以60aa或。6设集合A=|||1,,|||2,.xxaxRBxxbxR若AB,则实数a,b必满足（A）||3ab（B）||3ab（C）||3ab（D）||3ab.考.资.源.答案：D解析：因为{11}Axaxa，{22}Bxxbxb或，AB，21ba或21ba，所以，||3ab。7已知集合2log2,(,)AxxBa，若AB则实数a的取值范围是(,)c，其中c=.学答案：4解析：因为{04}Axx，AB，4a，4c。精选欢迎下载8记关于x的不等式01xax的解集为P，不等式11x≤的解集为Q．（I）若3a，求P；（II）若QP，求正数a的取值范围．答案：（I）{13}Pxx，（II）2a解析：（I）解分式不等式{13}Pxx,（II）{02}Qxx，QP，解得2a。9设整数4n，集合{123,}X，，……，令集合{(,,)|,,,SxyzxyzX且三条件,,xyzyzxzxy恰有一个成立}，若(,,)xyz和(