第六章自适应卡尔曼滤波

第六章自适应卡尔曼滤波§6.1卡尔曼滤波基本模型§6.2自适应卡尔曼滤波§6.3卡尔曼滤波在测量和变形分析中的应用§6.1卡尔曼滤波基本模型6.1.1概述卡尔曼滤波技术是20世纪60年代初由卡尔曼等人提出的一种递推式滤波算法，是一种对动态系统进行实时数据处理的有效方法。测量界开展了多方面的卡尔曼滤波应用研究工作，尤其是在变形监测中的应用较为广泛。例如，用于滑坡监测的数据处理；形变测量数据的动态处理；危岩体变形趋势预报；GPS变形监测网的动态数据处理等。6.1.2数学模型动态系统的卡尔曼滤波数学模型包括状态方程和观测方程，对于线性系统，其离散形式为：其中，为系统在时刻的维状态向量，为系统从时刻到时刻的维状态转移矩阵，为时刻的动态噪声，为时刻的动态噪声矩阵，为系统在时刻的维观测向量，为系统在时刻的维观测矩阵，为系统在时刻维观测噪声/1111kkkkkkXFXGWkkkkLHXVkXkt1n/1kkF1ktktnn1kW1kt1r1kG1ktnrkLkt1mkHktmnkVkt1m（6-1）（6-2）式（6-1）和（6-2）是卡尔曼滤波的函数模型。对于卡尔曼滤波的统计模型，一般是假设动态系统具有平稳随机过程的统计特性，假设动态噪声和观测噪声是互补相关的高斯白噪声序列，即kWkV()0kEW，()0kEV根据最小二乘原则，可推得卡尔曼滤波递推公式为：（1）状态向量一部预测值为（6-3）/1/11ˆˆkkkkkXFX（2）状态向量一部预测值方差矩阵为（6-4）/1/11/1111TTkkkkkkkkkkPFPFGQG其中，为动态噪声方差矩阵。1kQ（6-5）（4）状态向量估计值方差矩阵为（6-6）其中，为滤波增益矩阵，具体形式如下（3）状态向量估计值为/1/1ˆˆˆ()kkkkkkkkXXJLHX/1()kkkkkPIJHPkJ1/1/1()TTkkkkkkkkkJPHHPHR（6-7）kR为观测噪声方差矩阵在根据上述递推公式进行卡尔曼滤波计算时需要确定动态系统的初始状态向量和方差矩阵，并假设初始状态向量具有如下统计特性0ˆX0ˆP000ˆ()XEXx00ˆ()PVarX且与动态噪声和观测噪声不相关。0ˆXkWkV对于常线性系统，则有，即它们都是常数矩阵；如果动态噪声和观测噪声都是平稳随机序列，则、都是常数矩阵。在这种情况下，常增益的卡尔曼滤波是渐进稳定的。/1,kkFFkHHkQkR§6.2自适应卡尔曼滤波自适应卡尔曼滤波的目的是，在利用观测数据进行滤波的同时，实时地对未知的或不确定知道的系统模型参数和噪声的统计特性进行适当的估计和修正，以减弱模型误差的影响，使滤波结果更接近于实际。因此，自适应卡尔曼滤波主要是为了抑制滤波发散而提出地方法。自适应卡尔曼滤波的方法很多，包括Sage算法、相关算法、极大似然法以及协方差匹配法。这里介绍一种自适应卡尔曼的方差补偿法。其原理是在滤波过程中利用已有信息对动态噪声方差矩阵进行实时估计，以补偿滤波中对动态噪声方差或协方差估计的不足。kQ假设动态噪声和观测噪声为正态序列，为正态向量。定义L步预测剩余为kWkV0ˆX/ˆklklklkVLL（6-8）其中，、分别为第k+l期观测值和它的最佳观测值klL/ˆklkL（6-9）//ˆˆklkklklkkLHFX则为正态向量，即。方差矩阵为klV(0,)klwVNSwS（6-10）//TTwklkLkkklkklklSHFPFHR//11/1/1lTTTklklkklkikiklkiklkikliHFGQGFH假定在观测时间段上为常值对角阵，即1kiQ12,,,kkkNttt（6-12）21122212000000kirrQQ并记。2221122(,,,)TrrdiagQ于是记（6-13）[]TklklwklVVtrS其中，为零均值随机变量，l=1，2，…，Nkl（6-13）式可以写为（6-14）/klklklEAdiagQ则有（6-15）EAdiagQ上式为关于diagQ的线性方程组。当时有唯一解。记diagQ的最小二乘估计为Nr（6-16）1ˆ()TTdiagQAAAE对于N步以后的估计可用递推算法。记1/1/()[,,],TiiiTikkiPAAAAA,1,iNN1/1/1[1]iTTikiikiCAPA则11/1/1ˆ[]TikiikiikikidiagQIPACAdiagQ1/1/1/1/1[]TiTikiikikikiPIACAPAE虽然自适应卡尔曼滤波通过实时动态估计系统的统计特性，从而有效地抑制滤波中出现的发散现象，但在估计统计特性的同时必然要增加系统的计算量，这在状态向量维数比较高的情况下更加突出，因此，针对不同的情况应用自适应卡尔曼滤波时要同时考虑数据处理实时性和计算量问题。