线面垂直的判定定理-教学设计

《线面垂直的判定定理》教学设计一、内容解析：《直线与平面垂直的判定》是高中新教材人教A版必修2第2章的内容，本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条垂直转化为只要与两条相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。教学重点和难点《课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；又考虑到学生的认知水平所以我将本节课的教学重点确立为：操作确认并概括直线与平面垂直的定义及判定定理。教学难点确立为：概括出直线与平面垂直的定义及判定定理，定理的初步应用。二、教学目标根据以上分析，结合学生的认知水平和课容量，将教材中线面成角问题安排在下节课进行。故而确立本节课的教学目标为：（1）知识与技能掌握直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及性质定理，并能应用．（2）过程与方法通过“观察”“认识”“画出”空间图形及垂直关系相关定理的学习过程，进一步培养学生的空间想象力及合情推理能力．（3）情感、态度与价值观垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用．三、教学问题诊断分析学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。四、学习行为分析本节课安排在立体几何的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义，进而通过辨析讨论，深化对定义的理解。进一步，在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理，并在教师的指导下，通过动手操作、观察分析、自主探索等活动，切身感受直线与平面垂直判定定理的形成过程,体会蕴涵在其中的思想方法。通过练习与课后小结，使学生进一步加深对直线与平面垂直的判定定理的理解。五、教学支持条件分析观察和展示现实生活中的实例与图片，以直观感知直线与平面垂直的形象；准备三角形纸片，用于探究直线与平面垂直的判定定理；制作多媒体课件动态演示，以加深对直线与平面垂直定义及判定定理的感知与理解。六、教学策略：为了有效地达成教学目标，突出教学重点，突破难点，我采用“引导——启发式”的教学方法，在内容的处理方式上遵循直观感知——操作确认——归纳小结——初步应用的认知规律展开。注重培养学生的合情推理能力，引导学生对知识的建构，并发挥学生的创造性。七、教学过程：教学策略是有针对性的。要想使一堂课优化，必须把优化的教学策略，恰当地运用到教学过程中的相应教学环节，这样才能有效地达成教学目标。1、对线面垂直定义的建构：（1）创设情境：我通过展示现实生活中的线面垂直的例子去创设情境，并动员学生举出几例生活中的线面垂直的例子。这样设计的目的是让学生感知概念。（2）观察归纳①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.在黑板上画出图形语言，并让学生写出符号语言。定义教学设计目的：通过学生身边的例子归纳线面垂直的定义便于学生接受，而且在线线垂直的知识的基础上学生很容易得出线与面内任意线都垂直。这种立足于感性认识的归纳过程，即由特殊到一般，由具体到抽象，既有助于学生对概念本质的理解，又使学生的抽象思维得到发展，培养学生的几何直观能力。（3）定义的深化。①思考：你认为在定义中哪几个字最重要？（任意一条直线）②将任意一条改成“无数条”行不行？改成“所有条”行不行？在辨析问题中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化.预期效果:想通过实例让学生直观感知线面垂直的印象,然后通过旗杆与它在地面上的影子的位置关系让学生用文字语言归纳出线面垂直的定义,并写出符号语言,在教学过程中已达到预期效果.2、直线与平面垂直的判定定理的探究（1）设置问题情境问题：①若用定义去判定直线与平面垂直在实际操作中能否实现？问题：②能否通过减少面内线的条数的同时仍能保证线面垂直？问题：③请同学们思考：线面平行的判定是什么？类比直线与平面平行的判定定理如果直线垂直面内的一条线能否保证线面垂直？（让学生以书代面，笔代线）得出结论：线与面内一条线垂直不能得出线面垂直。问题：④线与面内两条平行线垂直能否保证线面垂直？问题：⑤线与面内两条相交线垂直能否保证线面垂直？（2）操作确认——折纸实验。如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：①折痕AD与桌面垂直吗？②如何翻折使折痕AD与桌面所在的平面垂直？③多媒体演示翻折过程。思考：由折痕AD⊥BC，翻折后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？抽象出数学模型：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就与桌面垂直，再利用多媒体演示翻折过程，增强几何直观性。（3）归纳直线与平面垂直的判定定理定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。给出图形语言，让学生给出符号语言：教师归纳：线不在多，相交则灵。在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实，简要说明直线与平面垂直的判定定理。然后，学生试用图形语言表述，练习本上画图，可能出现垂足与两相交直线交点重合的情况（如图），教师加以说明，同时给出符号语言表述。定理探究教学的设计目的：在定理的探究过程中，为引入线面垂直的判定，根据定义判定线面垂直在实际操作中难以实施，寻找简单易行的判定方法。类比线面平行的判定，所以如果一条直线垂直于平面内的一条直线，那么直线与平面垂直吗？再从一条直线到二条直线，再从两条平行线到两条相交线，符合学生的认知规律。因为大纲对定理的证明不要求，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理，为了突破难点，我是这样设计的，先让学生观察生活，举例感知，进行合情推理，提出猜想，然后安排学生动手实验，讨论交流、为便于学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，还增设了动态演示模拟试验，让学生更加清楚地看到“平面化”的过程。学生在已有数学知识的基础上，加之以公理的支撑，便可以确认定理。在对定理的剖析的过程中，5个条件缺一不可，并结合三种语言及学生大脑中的内部语言，努力使其成为直观上的显然，以便于学生在应用过程中灵活、自如。预期效果:通过举例感知，引导学生进行合情推理，提出猜想，然后安排学生动手实验，讨论交流,使学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论.已达到预期效果。3.直线与平面垂直的判定定理的初步应用（1）尝试练习：求证：与三角形的两条边都垂直的直线必与第三条边垂直请一位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，同时指出：这为证明“线线垂直”提供了一种方法。（2）巩固练习：一道判断题，两道选择题设计目的：在定理的应用过程中，实现例题与练习的一体化，努力培养学生自主分析问题和解决问题的能力。最后归纳小结这部分，引导学生通过将知识的系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和作用，培养学生认真总结的学习习惯。预期效果：想通过尝试训练与巩固三道题完成对线面垂直定义及定理的初步应用，但是这个环节学生耗时时间有点长，最主要是在第三题。八.总结反思：（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？（3）本节课你还有哪些问题？学生发言，互相补充，教师点评，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示），同时，说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路，并鼓励学生反思，大胆质疑，教师作好记录，以便查缺补漏。九.布置作业：（1）教材练习1.（2）建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙角线是否与地面垂直。如果墙角线与系有铅锤的线平行，那么墙角线与地面垂直。大家知道其中的理论吗？设计目的：(1)为了巩固这节课所学内容.(2)用生活中常见的一个实例作为课后作业，为线面垂直的推论：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直这个平面做好铺垫。