专题64-函数与导数(PPT)-2020年新高考数学一轮复习之考点题型深度剖析

函数、导数及其应用第三章高考解答题命题区间(一)函数与导数栏目导航类型一：极值、最值、导数几何意义及单调性的综合类型二：利用导数研究不等式的综合问题类型二：利用导数研究不等式的综合问题返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学[标准答案]规范解答，分步得分(1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，2分得分点①又因为f(0)＝1，f′(0)＝0.3分得分点②所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.4分得分点③(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx．6分得分点④当x∈0，π2时，h′(x)＜0，7分得分点⑤返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学所以h(x)在区间0，π2上单调递减.8分得分点⑥所以对任意x∈0，π2有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0.9分得分点⑦所以函数f(x)在区间0，π2上单调递减.10分得分点⑧因此f(x)在区间0，π2上的最大值为f(0)＝1，11分得分点⑨最小值为fπ2＝－π2.12分得分点⑩返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学[即时训练](2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．解(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.所以f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a12，则当x∈1a，2时，f′(x)0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0.返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学所以f(x)在x＝2处取得极小值．若a≤12，则当x∈(0，2)时，x－20，ax－1≤12x－10，所以f′(x)0.所以2不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是12，＋∞.返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学[评分细则]①有正确的求导式子得2分．②得出f′(0)＝0得1分．③写出切线方程得1分．④对新函数h(x)＝ex(cosx－sinx)－1求导得2分．⑤得出x∈0，π2时，h′(x)＜0得1分，求导出错不得分．⑥正确判断出函数h(x)的单调性得1分．⑦得出f′(x)＜0得1分．返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学⑧判断出函数在区间0，π2的单调性得1分．⑨求出最大值得1分．⑩求出最小值得1分．返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学[答题模板]用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学类型二：利用导数研究不等式的综合问题真题示范联想解题(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－lnx－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥0.①看到求a及f(x)单调区间，想到极值点处的导数为零从而求出a，并求出f(x)的单调区间．②看到证明当a≥1e时，f(x)≥0，想到转化为求当a≥1e时，f(x)的最小值不小于零.返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学[标准答案]规范解答，分步得分(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，1分得分点①f′(x)＝aex－1x.2分得分点②由题设知，f′(2)＝0，所以a＝12e2.3分得分点③从而f(x)＝12e2ex－lnx－1，f′(x)＝12e2ex－1x.4分得分点④当0x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.5分得分点⑤所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.6分得分点⑥返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥exe－lnx－1.8分得分点⑦设g(x)＝exe－lnx－1，则g′(x)＝exe－1x.9分得分点⑧当0x1时，g′(x)0；当x1时，g′(x)0.10分得分点⑨所以x＝1是g(x)的最小值点.11分得分点⑩故当x0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥1e时，f(x)≥0.12分得分点⑪返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学[即时训练](2016·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜x－1lnx＜x；(3)设c＞1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学[即时训练](2016·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜x－1lnx＜x；(3)设c＞1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学(1)解由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．(2)证明由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx＜x－1.故当x∈(1，＋∞)时，lnx＜x－1，ln1x＜1x－1，即1＜x－1lnx＜x.(3)证明由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxlnC．令g′(x)＝0，解得x0＝lnc－1lnclnc.返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．由(2)知1＜c－1lnc＜c，故0＜x0＜1.又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.所以当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x＞cx.返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学[评分细则]①写出函数的定义域得1分．②准确求导得1分．③令导数等于0求出实数a得1分．④写出导函数得1分．⑤准确确定x的取值范围从而得到导数的正负得1分．⑥准确写出单调区间得1分．⑦准确转化不等式得2分．⑧对新函数准确求导得1分．⑨准确确定x的取值范围从而得到导数的正负得1分．⑩确定的最小值点得1分．⑪正确写出要证明的结论得1分．返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学[答题模板]用导数法证明不等式问题的一般步骤第一步：确定函数的定义域；第二步：(构造)构造函数将不等式的证明问题转化为求函数最值问题；第三步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)；第四步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第五步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第六步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第七步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学类型三：利用导数研究函数零点的综合问题真题示范联想解题(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求A．①看到证明不等式，想到转化为求函数的最值问题求解．②看到由函数零点个数求实数a，想到构造函数讨论函数零点个数来确定实数a的值.返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学[标准答案]规范解答，分步得分(1)证明：当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)e－x－1≤0.1分得分点①设函数g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则g′(x)＝－(x2－2x＋1)·e－x＝－(x－1)2e－x.2分得分点②当x≠1时，g′(x)0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减.3分得分点③而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1.4分得分点④返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学(2)解：设函数h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)只有一个零点等价于h(x)在(0，＋∞)只有一个零点.5分得分点⑤(ⅰ)当a≤0时，h(x)0，h(x)没有零点；6分得分点⑥(ⅱ)当a0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.当x∈(0，2)时，h′(x)0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)0.所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．故h(2)＝1－4ae2是h(x)在(0，＋∞)的最小值.7分得分点⑦返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学①若h(2)0，即ae24，h(x)在(0，＋∞)没有零点.8分得分点⑧②若h(2)＝0，即ae24，h(x)在(0，＋∞)只有一个零点.9分得分点⑨③若h(2)0，即ae24，因为h(0)＝1，所以h(x)在(0，2)有一个零点；10分得分点⑩由(1)知，当x0时，exx2，所以h(4a)＝1－16a3e4a＝1－16a32a21－16a3a4＝1－1a0，故h(x)在(2，4a)有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)有两个零点11分得分点⑪综上，当f(x)在(0，＋∞)只有一个零点时，a＝e24.12分得分点⑫返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学[即时训练](2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学(1)解当a＝3时，f(x)＝13x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－23或x＝3＋23.当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减．(2)证明因为x2＋x＋10，所以f(x)＝0等价于x3x2＋x＋1－3a＝0.设g(x)＝x3x2＋x＋1－3a，则g′(x)＝x2x2＋2x＋x2＋x＋2≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－13＝－6a－162－160，f(3a＋1)＝130，故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学[评分细则]①准确转化不等式得1分．②构造函数并准确求出导数得1分．③确定函数g(x)的单调性得1分．④确定结论得1分．⑤准确将问题进行转化得1分．⑥讨论：当a≤0时函数无零点得1分．⑦讨论：当a0时求出函数的最小值得1分．⑧讨论：h(x)0函数没有零点得1分．⑨讨论：h(2)＝0函数只有一个零点得1分．返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学⑩讨论：h(2)0时函数在(0，2)上有一个零点得1分．⑪讨论：h(2)0时函数在(2，4a)上有一个零点，从而函数在(0，＋∞)有两个零点得1分．⑫确定结论得1分．返回导航第三章函数、导数及其应用第1轮·数学[答题模板]利用导数研究方程的根(