2020新人教A版必修一集合间的基本关系学案

1.1.2集合间的基本关系学习目标1.理解子集、真子集、空集的概念；2.能用符号和Venn图表达集合间的关系；3.掌握列举有限集的所有子集的方法．知识点一子集思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？答案所有的白马都是马，马不一定是白马．一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．子集的有关性质：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(3)若A⊆B，B⊆A，则A＝B.知识点二真子集思考在知识点一中，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案用真子集．如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集，记作：AB(或BA)，读作：A真包含于B(或B真包含A)．知识点三空集思考集合{x∈R|x2＜0}中有几个元素？答案0个.定义不含任何元素的集合叫做空集符号用符号表示为∅规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集知识点四Venn图，B，C的关系用符号可表示为__________．答案A⊆B⊆C一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．类型一理解子集、真子集、空集的概念例1已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值．解A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．(1)当a＝0时，B＝∅⊆A，符合题意．(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝{1a}，∵1a≠0，要使A⊇B，只有1a＝1，即a＝1.综上，a＝0或a＝1.的子集可分三类：∅、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略∅.跟踪训练1已知集合A＝{x|1x2}，B＝{x|2a－3xa－2}，且A⊇B，求实数a的取值范围．解(1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合题意．(2)当a1时，要使A⊇B，需a1，2a－3≥1，a－2≤2，这样的实数a不存在．综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．类型二罗列集合的子集例2(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．解(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如∅，有一个子集，0个真子集．反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．跟踪训练2适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A．15B．16C．31D．32答案A解析这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．类型三判断和证明集合间的关系例3已知A＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，B＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，判断A与B的关系并证明．解当k＝0,1,2,3时，k2＋14＝14，34，54，74，k4＋12＝24，34，44，54.下用定义证明．(1)若a∈A，则存在k0∈Z，使a＝k02＋14，而k02＋14＝2k0－14＋12，且2k0－1∈Z，∴a∈B，即A⊆B.(2)由上知1∈B，令1＝k2＋14，解得k＝32∉Z，即1∉A.综上知AB.反思与感悟判断或证明集合间的关系，要紧扣定义，如果是描述法表示的集合，不妨先变为列举法或者列举一部分，使集合中元素特征清晰地呈现出来．跟踪训练3已知A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，判断A与B的关系并证明．解A＝B.下证明之．若x1∈A，则存在k1∈Z使x1＝2k1＋1＝2(k1＋1)－1，∵k1∈Z，∴k1＋1∈Z，∴x1∈B，∴A⊆B.同理可证A⊇B，∴A＝B，证毕．1．下列集合中，结果是空集的是()A．{x∈R|x2－1＝0}B．{x|x＞6或x＜1}C．{(x，y)|x2＋y2＝0}D．{x|x＞6且x＜1}答案D2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为()A．PTB．P∈TC．P＝TD．P⊈T答案A3．下列关系错误的是()A．∅⊆∅B．A⊆AC．∅⊆AD．∅∈A答案D4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()答案B5．若A＝{x|xa}，B＝{x|x6}，且A⊆B，则实数a可以是()A．3B．4C．5D．6答案D．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．一、选择题1．设A＝{a，b}，B＝{x|x∈A}，则()A．B∈AB．BAC．A∈BD．A＝B答案D解析因为集合B中的元素x∈A，所以x＝a或x＝b，所以B＝{a，b}，因此A＝B.2．若集合A＝{x|x＝n，n∈N}，B＝{x|x＝n2，n∈Z}，则A与B的关系是()A．A⊆BB．B⊆AC．A＝BD．A∈B答案A解析A＝{0,1,2，…}，B＝{…，－1，－12，0，12，1，32，2，…}，A中任意一个元素均在B中．．集合U、S、T、F的关系如图所示，下列关系正确的是()①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.A．①③B．②③C．③④D．③⑥答案D解析元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．4．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是()A．A⊆BB．B⊆AC．B∈AD．A＝B答案C解析∵A＝{x|x⊆B}，∴A＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.5．设A＝{x|1x2}，B＝{x|xa}，若A⊆B，则a的取值范围是()A．a≤2B．a≤1C．a≥1D．a≥2答案D解析∵A⊆B，∴a≥2.6．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则(a，b)不能是()A．(－1,1)B．(－1,0)C．(0，－1)D．(1,1)答案B解析当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．二、填空题7．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有________个．答案4解析由题意得，含有元素0的集合A的子集有：{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}共4个．．已知{0,1}A⊆{－1,0,1}，则集合A＝________.答案{－1,0,1}解析由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A⊆{－1,0,1}，所以A＝{－1,0,1}．9．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，那么a的值是________．答案0，±1解析P＝{－1,1}，Q⊆P，所以(1)当Q＝∅时，a＝0.(2)当Q≠∅时，Q＝{1a}，所以1a＝1或1a＝－1，解之得a＝±1.综上知a的值为0，±1.10．设集合M＝{(x，y)|x＋y0，xy0}和P＝{(x，y)|x0，y0}，那么M与P的关系为________．答案M＝P解析∵xy0，∴x，y同号，又x＋y0，∴x0，y0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.三、解答题11．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，试列举满足条件A⊆C⊆B的集合C.解先用列举法表示集合A，B.由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．12．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，求实数a的值．解∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．当a＝0时，x＝23.≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝98.综上，a的值为0或98.13．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围．解①当A无真子集时，A＝∅，即方程ax2＋2x＋1＝0无实根，所以a≠0，Δ＝4－4a0，所以a1.②当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两种情况：当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，解得x＝－12；当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是a＝0或a≥1.