人教A版必修第一册22基本不等式学案

【新教材】2.2基本不等式学案（人教A版）1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程．一、预习导入阅读课本44-45页，填写。1.重要不等式2.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:_____________.(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.注意：一正二定三等.3.几个重要的不等式(1)a2+b2≥______(a,b∈R).(2)≥____(a,b同号).(3)(a,b∈R).(4)(a,b∈R).)0,0(2babaabbaab2)2(baab222)2(2baba4.设a0,b0，则a,b的算术平均数为___________,几何平均数为______，基本不等式可叙述为：_____________________.1.已知x0，求x+的最小值.2.已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值√；（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.题型一利用基本不等式求最值例1求下列各题的最值.（1）已知x0,y0,xy=10,求的最小值；（2）x0,求的最小值；（3）x3，求的最大值；跟踪训练一（1）已知x0,y0，且求x+y的最小值；（2）已知x求函数的最大值;（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.题型二利用基本不等式解决实际问题例2（１）用篱笆围一个面积为１００的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（２）用一段长为３６ｍ的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？跟踪训练二yxz52xxxf312)(xxxf34)(1.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知3AB米，4AD米.（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值.1．已知0,0xy，且4xy，则xy最大值为（）A．1B．2C．3D．42．函数15(1)1yxxx的最小值为()A．6B．7C．8D．93．已知0,0,2abab，则14yab的最小值是（）A．92B．72C．5D．44．若函数1()(2)2fxxxx在xa处取最小值，则a等于（）A．3B．13C．12D．45．已知正数a、b满足226ab，则24ba的最大值为__________．6．当1x时，1()1fxxx的最大值为__________.7．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（0m）满足31kxm（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？答案小试牛刀1．【答案】见解析【解析】因为x0，所以≥2√当且仅当x=，即=1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2.2．【答案】见证明【解析】证明：因为x，y都是正数，所以≥√（1）当积xy等于定值P时，≥√，所以x+y≥2√，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2√.（2）当和x+y等于定值S时，√，所以xy，当且仅当x=y时，上式等号成立。于是，当x=y时，积xy有最大值.自主探究例1【答案】见解析【解析】（1）由x0,y0,xy=10.当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.(2)∵x0,等号成立的条件是即x=2,∴f(x)的最小值是12.(3)∵x3,∴x-30,∴3-x0,.2.210102105252minzxyxyyx则,123122312)(xxxxxf,312xx当且仅当即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.跟踪训练一【答案】见解析【解析】,xx334,13)3(3423)]3(34[3)3(3434)(xxxxxxxxxf例2【答案】见解析【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，篱笆的长度为()m.(1)由已知得由≥√，可得≥√所以()≥,当且仅当=10时，上式等号成立.(2)由已知得()，矩形菜园的面积为由√==9,可得81，当且仅当=9时，上式等号成立.跟踪训练二1.【答案】见解析【解析】（1）设DN的长为0xx米，则4ANx米DNDCANAM34xAMx234AMPNxSANAMx由矩形AMPN的面积大于50得：23450xx又0x，得：2326480xx，解得：803x或6x即DN长的取值范围为：80,6,3（2）由（1）知：矩形花坛AMPN的面积为：223(4)324484848324232448xxxyxxxxxx当且仅当483xx，即4x时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48故DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米当堂检测1-4．DCAA5．56.-37．【答案】（1）16281ymm；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大【解析】（1）由题意可知，当0m时，1x（万件），所以13-k，所以2k，所以231xm，每件产品的销售价格为8161.5xx（万元），所以年利润816161.581648281xyxxmxmmxm所以16281ymm，其中0m.（2）因为0m时，11681mm，即7116mm所以28721y，当且仅当1611mm，即3m（万元）时，max21y（万元）.所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.