学第1章16三角函数模型的简单应用

1.6三角函数模型的简单应用1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是()A．1100B．100C．150D．502.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝12sin2t＋π2，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是()A．12，1πB．2，1πC.12，πD．2，π3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．4．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________．三角函数图象的应用【例1】(1)函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是()ABCD(2)作出函数y＝|cosx|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间．1．函数y＝lncosx－π2＜x＜π2的大致图象是()三角函数模型在物理学中的应用【例2】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．(1)用“五点法”作出这个函数的简图；(2)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(4)经过多长时间小球往复振动一次？思路点拨：确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键．[解](1)列表如下：t－π6π12π37π125π62t＋π30π2π3π22πsin2t＋π3010－10s040－40描点、连线，图象如图所示．(2)将t＝0代入s＝4sin2t＋π3，得s＝4sinπ3＝23，所以小球开始振动时的位移是23cm.(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(4)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sin2πt＋π6.(1)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？(2)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(3)单摆来回摆动一次需多长时间？[解](1)由s＝6sin2πt＋π6得t＝0时，s＝6sinπ6＝3(cm)，所以单摆开始摆动时，离开平衡位置的距离是3cm；(2)由解析式知，振幅为6，∴单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是6cm；(3)T＝2πω＝2π2π＝1，即单摆来回摆动一次需1s.三角函数模型的实际应用[探究问题]在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？提示：(1)根据原始数据绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．【例3】已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b的图象．(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？思路点拨：(1)根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求ω.(2)解不等式y＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．[解](1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝π6.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y＝12cosπ6t＋1(0≤t≤24)．(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝12cosπ6t＋1＞1，cosπ6t＞0，2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2，即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.1．若将本例(2)中“大于1m”改为“大于1.25m”，结果又如何？[解]由y＝12cosπ6t＋1＞1.25得cosπ6t＞12，2kπ－π3＜π6t＜2kπ＋π3，k∈Z，即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z.又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24，所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即10＜t＜14.2．若本例中海滨浴场某区域的水深y(m)与时间t(h)的数据如下表：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0用y＝Asinωt＋b刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式．[解]函数y＝Asinωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12h，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，∴b＝10，A＝13－10＝3，∴所求函数的解析式为y＝3sinπ6t＋10(0≤t≤24)．解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域．1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．2．三角函数模型在实际应用中体现的2个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.1．与图中曲线对应的函数解析式是()A．y＝|sinx|B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sinx|C[注意题图中的函数值的正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin|x|0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.]2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()A．60B．70C．80D．90C[这里ω＝160π，则T＝2π160π＝180，所以此人每分钟心跳的次数为80次．]3．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cosglt＋π3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________cm.g4π2[由已知得2πgl＝1，所以gl＝2π，gl＝4π2，l＝g4π2.]4．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出动物种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量．[解](1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则－A＋b＝700，A＋b＝900，解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝2πT＝π6，∴y＝100sinπ6t＋φ＋800(t≥0)．又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sinπ6×6＋φ＋800，∴sin(π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y＝100sinπ6t－π2＋800.(2)当t＝2时，y＝100sinπ6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.课时分层作业(十三)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin2πt＋π6，那么单摆摆动一个周期所需的时间为()A．2πsB．πsC．0.5sD．1sD[依题意是求函数s＝6sin2πt＋π6的周期，T＝2π2π＝1，故选D.]2．已知函数y＝sinax＋b(a＞0)的图象如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图象可能是()ABCDC[由图象可知0＜b＜1，2πa＞2π，即0＜a＜1，对照选择应选C.]3.如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有()A．ω＝2π15，A＝3B．ω＝152π，A＝3C．ω＝2π15，A＝5D．ω＝152π，A＝5A[由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2⇒A＝3.T＝15，则ω＝2π15.故选A.]4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月价价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)B．f(x)＝9sinπ4x－π4(1≤x≤12，x∈N*)C．f(x)＝22sinπ4x＋7(1≤x≤12，x∈N*)D．f(x)＝2sinπ4x＋π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)A[根据题意知A＝9－7＝2，2(7－3)＝2πω得ω＝π4，且π4×3＋φ＝π2得φ＝－π4，故选A.]5．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12s旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是12，32，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是()A．[0，1]B．[1，7]C．[7，12]D．[0，1]和[7，12]D[由已知可得该函数的最小正周期为T＝12，则ω＝2πT＝π6.又当t＝0时，A的坐标为12，32，∴此函数为y＝sinπ6t＋π3，t∈[0，12]．可解得此函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]．]二、填空题6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acosπ6（x－6）(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.20.5[由题意可知A＝28－182＝5，a＝28＋182＝23.从而y＝5cosπ6（x－6）＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cosπ6×4＋23＝20.5.]7.如图是一弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．y＝2sin5π2t＋π4[由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝2π0.8＝52π，所以y＝2sin52πt＋φ，将点(0.1，2)代入y＝2sin5π2t＋φ中，得sinφ＋π4＝1，所以φ＋π4＝2kπ＋π2，k∈Z，即φ＝2kπ＋π4，k∈Z，令k＝0，得φ＝π4，所以y＝2sin5π2t＋π4.]8．一种波的波形为函数y＝－sinπ2x的图象，若其在区间