高一数学必修5不等式题型总结

1含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x项的系数a的符号分类，即0,0,0aaa;例1解不等式：0122xaax分析：本题二次项系数含有参数，044222aaa，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：∵044222aaa解得方程0122xaax两根,24221aaaxaaax24222∴当0a时,解集为aaaxaaaxx242242|22或当0a时，不等式为012x,解集为21|xx当0a时,解集为aaaxaaax242242|22例2解不等式00652aaaxax分析因为0a，0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解032)65(2xxaxxa当0a时，解集为32|xxx或；当0a时，解集为32|xx二、按判别式的符号分类，即0,0,0；例3解不等式042axx分析本题中由于2x的系数大于0,故只需考虑与根的情况。解：∵162a∴当4,4a即0时，解集为R；当4a即Δ＝0时，解集为2axRxx且；当4a或4a即0,此时两根分别为21621aax，21622aax，显然21xx,∴不等式的解集为21621622aaxaaxx〈或例4解不等式Rmxxm014122解因,012m2223414)4(mm，所以当3m，即0时，解集为21|xx；当33m，即0时，解集为1321322222mmxmmxx〈或；当33mm或，即0时，解集为R。三、按方程02cbxax的根21,xx的大小来分类，即212121,,xxxxxx；例5解不等式)0(01)1(2axaax分析：此不等式可以分解为：0)1(axax，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。2解：原不等式可化为：0)1(axax，令aa1，可得：1a，∴当1a或10a时，aa1，故原不等式的解集为axax1|；当1a或1a时，aa1,可得其解集为；当01a或1a时,aa1,解集为axax1|。例6解不等式06522aaxx，0a分析此不等式0245222aaa，又不等式可分解为0)3(2axax，故只需比较两根a2与a3的大小.解原不等式可化为：0)3(2axax，对应方程0)3(2axax的两根为axax3,221，当0a时，即23aa，解集为axaxx23|或；当0a时，即23aa，解集为|23xxaxa或一元二次不等式参考例题（2）1．(1)解不等式121xx（}0,1|{xxx或）(2)不等式11xax的解集为}21|{xxx，或，求a的值.（21a）2．解下列关于x的不等式：（1）01)1(2xaax（2）)23(0)3)(2(aaxxax，且}1|{01,1)3(1)2(}1|{10,1)1(axaxaaaaxaxaa时，或当时，当时，或当}3,2|{3)3(}3,2|{32)2(}32,|{2)1(axxxaxaxxaxaxxa或时，当或时，当或时，当（3）01)1(2xaax（4）0)2)(2(axx3}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(xaxaaaxxaxxaxaxxa时，当时，当时，当时，当或时，当}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(xaxxaxxaaxxxaxxaxaxa或时当时当或时当时当时当（5）012xax（6）)(11Raaxx时，当时，当时，当或时，当41)4(}24112411|{410)3(}1|{0)2(}2411,2411|{0)1(aaaxaaxaxxaaaxaaxxa}1,1|{0)3(}1|{0)2(}11|{0)1(aaxxxaxxaxaaxa或时，当时，当时，当3．（1）若不等式04)2(2)2(2xaxa对Rx恒成立，求实数a的取值范围.（22a）（2）若不等式13642222xxmmxx的解集为R，求实数m的取值范围.（31m）4．（1）已知}0)1(|{},023|{22axaxxBxxxA，①若AB，求实数a的取值范围.；（2a）②若AB，求实数a的取值范围.；（21a）③若BA为仅含有一个元素的集合，求a的值.（1a）（2）已知}031|{xxxA，BBAaxaxxB且},0)1(|{2，求实数a的取值范围.（31a）4(3)关于x的不等式2)1(|2)1(|22aax与0)13(2)1(32axax的解集依次为A与B，若BA，求实数a的取值范围.（31,1aa或）（4）设全集RU，集合}3|12||{},01|{xxBxaxxA，若RBA，求实数a的取值范围.（12a）（5）已知全集RU，}034|{},082|{},06|{2222aaxxxCxxxBxxxA，若CBA)(，求实数a的取值范围.（21a）一元二次不等式及其解法1．二次函数的图象及性质:二次函数cbxaxy2的图象的对称轴方程是abx2，顶点坐标是abacab4422，．2．二次函数的解析式的三种形式：2()fxaxbxc（一般式）；12()()()fxaxxxx（零点式）；nmxaxf2)()(（顶点式）．3．一元二次不等式的解法一元二次不等式20axbxc200axbxca或的解集：设相应的一元二次方程20axbxc0a的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx4．解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为“+”：A=cbxax20(或0)(a0)；(2)计算判别式，分析不等式的解的情况；(3)写出解集．55．讨论二次函数02acbxaxy在指定区间qp,上的最值问题：(1)注意对称轴abx2与区间qp,的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：①对称轴2ba在区间左边，函数在此区间上具有单调性；②对称轴2ba在区间之内；③对称轴2ba在区间右边．（2）函数02acbxaxy在区间qp,上的单调性．要注意系数a的符号对抛物线开口的影响．6．二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．三、典型例题选讲题型1：考查一元二次函数的性质例1函数2([0,))yxbxcx是单调函数的充要条件是（）A．0bB．0bC．0bD．0b解：∵函数2([0,))yxbxcx的对称轴为2bx，∴函数2([0,)yxbxcx）是单调函数-(0,)2b02b，0b．故选A．归纳小结：二次函数的单调区间是(,]2ba和[,)2ba，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出b的范围．例2已知二次函数的对称轴为2x，截x轴上的弦长为4，且过点(0,1)，求函数的解析．解：∵二次函数的对称轴为2x，可设所求函数为2()(2)fxaxb，∵()fx截x轴上的弦长为4，∴()fx过点(22,0)和(22,0)，()fx又过点(0,1)，∴4021abab，解之得122ab，∴21()(2)22fxx．归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化．题型2：简单不等式的求解问题例3求下列不等式的解集．（1）01442xx；（2）0322xx解法一：因为210144,0212xxxx的解是方程．所以，原不等式的解集是21xx．解法二：整理，得0322xx．因为032,02xx方程无实数解，所以不等式0322xx的解集是．从而，原不等式的解集是．归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察．例4不等式022bxax的解集为21xx，求a与b的值．解法一：设022bxax的两根为1x、2x，由韦达定理得：axxabxx22121由题意得21221aab∴1a，1b，此时满足0a，0)2(42ab．解法二：构造解集为21xx的一元二次不等式：0)2)(1(xx，即022xx，此不等式与原不等式022bxax应为同解不等式，故1a，1b．归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为21xx，不等式022bxax需满足条件0a，0，6022bxax的两根为11x，22x．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系．题型3：含参不等式的求解问题例5解关于x的不等式01)1(2xaax．证：分以下情况讨论(1)当0a时，原不等式变为：01x，∴1x，即不等式的解集为{|1}xx(2)当0a时，原不等式变为：0)1)(1(xax①①当0a时，①式变为0)1)(1(xax，∴不等式的解为1x或ax1．即不等式的解集为1{|1}xxxa或；②当0a时，①式变为0)1)(1(xax．②，∵aaa111，∴当10a时，11a，此时②的解为ax11．即不等式的解集为1{|1}xxa；当1a时，11a，此时②的解为．当1a时，11a，即不等式的解集为1{|1}xxa．归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：11100000aaaaaaaRa分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0a时，解一元二次不等式01)1(2xaax应首选做到将二次项系数变为正数再求解．题型4：一元二次不等式的应用例6（1）已知函数0101xxxxxf，则不等