解密08正余弦定理及解三角形备战2020年高考文科数学之高频考点解密解密08正余弦定理及解三角形备战

解密08正、余弦定理及解三角形高考考点命题分析三年高考探源考查频率利用正、余弦定理解三角形解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．2019课标全国Ⅰ112019课标全国Ⅱ152018课标全国Ⅲ112018课标全国Ⅰ162017课标全国Ⅲ15★★★★★解三角形与其他知识的交汇问题2019课标全国Ⅲ182018课标全国Ⅱ72017课标全国Ⅰ11★★★★考点1利用正、余弦定理解三角形题组一利用正、余弦定理解三角形调研1在ABC△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若1a，23c，πsinsin3bAaB，则sinCA．37B．217C．2112D．5719【答案】B【解析】31sinsincossin322bAaBaBaB，即31sinsinsincossinsin22ABABAB，即3sinsin3sincosABAA，sin0A，3sin3cosBB，得3tan3B，0B，6B.由余弦定理得2232cos112212372bacacB，由正弦定理sinsincbCB，因此，123sin212sin77cBCb.故选B.【名师点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.求解时，利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得3tan3B，可得出6B，然后利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理可求出sinC的值.调研2在ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且3sincosbAaB．（1）求角B；（2）若3b，sin3sinCA，求a，c．【答案】（1）π6B；（2）3,33ac.【解析】（1）在ABC△中，由正弦定理sinsinabAB，得3sinsinsincosBAAB．又因为在ABC△中sin0A．所以3sincosBB．法一：因为0πB，所以sin0B，因而cos0B．所以sin3tancos3BBB，所以π6B．法二：3sincos0BB即π2sin06B，所以ππ6BkkZ，因为0πB，所以π6B．（2）由正弦定理sinsinacAC，及sin3sinCA，所以3ca，①由余弦定理2222cosbacacB，得22π92cos6acac，即2239acac，②把①代入②得3,33ac.【名师点睛】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小；（2）利用正弦定理、余弦定理，转化求解即可．解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值；二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.☆技巧点拨☆利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC”；若想“角”往“边”化，常利用sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，cosC＝a2＋b2－c22ab等．题组二与三角形面积有关的问题调研3在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且ABC△的外接圆半径为1，若6abc，则ABC△的面积为__________．【答案】32【解析】由题意得22sincRC，即sin2cC，∴1sin2ABCSabC△1113622442cababc，故答案为32.【名师点睛】由正弦定理可把其中一边化为角，从而由6abc及由公式1sin2SabC求得面积.正弦定理：2sinsinsinabcRABC，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为4abcSR22sinsinsinRABC.调研4如图，在ABC△中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝53，CD＝5，BD＝2AD．(1)求AD的长；(2)求ABC△的面积．【答案】(1)5；(2)7534.【解析】(1)在ABC△中，因为BD＝2AD，设AD＝x(x＞0)，所以BD＝2x.在BCD△中，因为CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，所以cos∠CDB＝CDBD＝52x.在ACD△中，因为AD＝x，CD＝5，AC＝53，所以cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22×AD×CD＝2225(53)25xx.因为∠CDB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，即2225(53)25xx＝－52x，解得x＝5.所以AD的长为5.(2)由(1)求得AB＝3x＝15，BC＝4x2－25＝53.所以cos∠CBD＝BCBD＝32，从而sin∠CBD＝12.所以S△ABC＝12×AB×BC×sin∠CBA＝12×15×53×12＝7534.题组三三角形形状的判断调研5在ABC△中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若22tan:tan:,ABab则ABC△的形状为A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．不能确定【答案】C【解析】由题意结合正弦定理有：22sincossincossinsinABAABB，即：cossincossinBAAB，据此可得：sincossincosAABB，则sin2sin2AB，故22AB或22πAB，即AB或π2AB，据此可得：ABC△的形状为等腰三角形或直角三角形.本题选择C选项.【名师点睛】由题意结合正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质整理计算即可确定三角形的形状.解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．调研6ABC△中,角,,ABC的对边分别是,,abc，且cos3sinaCaCbc.(1)求A;(2)若2,aABC△的面积为3,试判断此三角形的形状.【答案】(1)60°；(2)等边三角形.【解析】(1)由正弦定理及cos3sinaCaCbc得,sincos3sinsinsinsinACACBC，即sincos3sinsinsinsinACACACC3sinsincossinsinACACC,∵sin0C,∴13sincos1sin302AAA,∵0180A,∴3030150A,∴303060AA.(2)1sin342SbcAbc,由余弦定理得:2222cosabcbcA=23bcbc241242bcbcbc,∵60A,∴60BC,故ABC△是等边三角形.☆技巧点拨☆判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.考点2解三角形与其他知识的交汇问题题组一解三角形与三角恒等变换相结合调研1在ABC△中，角A,B,C所对的边分别为21,,sinsinsin,24BCabcBC，且2bc，则实数a的取值范围是____________.【答案】3,2.【解析】由21cos1sinsinsinsinsin224BCBCBCBC，得2cos4sinsin1BCBC，所以12cos1,coscos2BCABC，则由余弦定理2222221cos222bcbcabcaAbcbc，得22412bcbca，解得3a，又2abc，所以a的范围是3,2.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.调研2在ABC△中,,,abc分别为角,,ABC的对边,已知7,2cABC△的面积为33,2又tantanAB3tantan1.AB(1)求角C的大小;(2)求ab的值.【答案】(1)π3；(2)11.2【解析】(1)因为tantan3tantan1,ABAB所以tanAB=tantan3,1tantanABAB又因为,,ABC为ABC△的内角,所以2π,3AB所以π.3C(2)由133sin,22ABCSabC△及π,3C得6,ab又2222221cos222abcababcCabab,7,2c所以11.2ab题组二解三角形与平面向量相结合调研3在ABC△中，90C，2CMMB．若1sin5BAM，则tanBAC_________．【答案】62【解析】根据题意，设,3ACmBCn，则2,CMnBMn，根据1sin5BAM，得26cos5BAM，由勾股定理可得22224,9AMmnABmn，根据余弦定理可得22222222249265249mnmnnmnmn，化简整理得422412360mmnn，即22260mn，解得6mn，所以336tan26nnBACmn，故答案是62.【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.调研4如图,在ABC△中,已知点D在边BC上,且0ADAC,22sin3BAC,32AB,3BD．(1)求AD的长;(2)求cosC．【答案】(1)3；(2)63.【解析】(1)因为0,ADAC所以,ADAC所以πsinsincos,2BACBADBAD即22cos3BAD．在ABD△中,由余弦定理,可知2222cosBDABADABADBAD，即28150,ADAD解得5,AD或3AD．因为,ABAD所以3AD．(2)在ABD△中,由正弦定理,可知,sinsinBDABBADADB又由22cos,3BAD可知1sin,3BAD所以sin6sin3ABBADADBBD．因为π,2ADBDACCC所以6cos3C.1．（北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模）数学试题）在△ABC中，π6B，c=4，5cos3C，则b=A．33B．3C．32D．43【答案】B【解析】∵π6B，c=4，5cos3C，∴22sin1cos3CC，∴由正弦定理sinsinbcBC，可得：41223b，解得：b=3．故选B．【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．求解时，由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，根据正弦定理即可计算解得b的值．2．（四川省成都市第七中学2019届高三二诊数学模拟试题）在△ABC中，A＝60°，A