81空间几何体的三视图表面积和体积

栏目索引考点清单方法技巧专题八立体几何8.1空间几何体的三视图、表面积和体积高考理数（课标专用）栏目索引考点清单方法技巧考向基础1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台结构特征有两个面平行且全等,其余各个面都是四边形;每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面(底面)是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形有两个面平行且相似,其余各面都是梯形侧棱①平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状②平行四边形③三角形④梯形考点一三视图与直观图考点清单栏目索引考点清单方法技巧知识拓展特殊的棱柱和棱锥(1)侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.(2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.(3)特殊的四棱柱: (4)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的部分是棱台.栏目索引考点清单方法技巧名称圆柱圆锥圆台球母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形大圆侧面展开图⑤矩形⑥扇形⑦扇环2.旋转体的结构特征栏目索引考点清单方法技巧注意(1)球的截面是圆面;(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r= .3.三视图和直观图(1)三视图的定义几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.注意画三视图时,能看见的线用实线表示,不能看见的线用虚线表示.同一物体,若放置的位置不同,则所得的三视图可能不同.22Rd栏目索引考点清单方法技巧(2)三视图的长度特征“长对正、宽相等、高平齐”,即正视图和俯视图长对正,侧视图和俯视图宽相等,正视图和侧视图高平齐.(3)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的注意点:a.斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变” “三不变” b.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形,,;y坐标轴的夹角改变与轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变,,.x平行性不改变与轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变面积的 .24栏目索引考点清单方法技巧例1(2018课标Ⅲ,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ()  考向一由空间几何体的直观图识别三视图考向突破栏目索引考点清单方法技巧解析本题考查空间几何体的三视图.两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为A.故选A.答案A栏目索引考点清单方法技巧例2(2018课标Ⅰ,7,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为 ()A.2 B.2 C.3D.2175考向二由空间几何体的三视图还原直观图栏目索引考点清单方法技巧解析本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径问题.由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示,设ME与FN为圆柱的两条母线,沿FN将圆柱的侧面展开,如图2所示,连接MN,MN即为从M到N的最短路径,由题意知,ME=2,EN=4,∴MN= =2 .故选B. 图1 22425图2答案B栏目索引考点清单方法技巧考向基础1.旋转体的表面积2.多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积.注意(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面面积之和.(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.圆柱(底面半径为r,母线长为l)圆锥(底面半径为r,母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r'、r,母线长为l)球(半径为R)侧面积S侧=2πrlS侧=①πrlS侧=π(r'l+rl)表面积S表=2πr(r+l)S表=πr(r+l)S表=π(r'2+r2+r'l+rl)S表=②4πR2考点二空间几何体的表面积和体积栏目索引考点清单方法技巧体积(S,S'为底面面积,r,r'为底面半径,h为高)柱体V柱体=③Sh,V圆柱=πr2h锥体V锥体=④ Sh,V圆锥= πr2h台体V台体= (S+ +S')h,V圆台= π(r2+rr'+r'2)h球V球=⑤ πR3(R为球半径)131313SS'13433.柱体、锥体、台体、球的体积注意(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)求与三视图有关的体积问题注意几何体和数据还原的准确性.栏目索引考点清单方法技巧例1(2018广东广州3月调研,7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个几何体的三视图,则该几何体的表面积为 () A.4+4 +2 B.14+4 C.10+4 +2 D.423223考向一空间几何体的表面积考向突破栏目索引考点清单方法技巧解析如图,该几何体是一个底面为直角梯形,有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S-ABCD.连接AC,AC= =2 ,SC= =2 ,SD=SB= =2 ,CD= =2 ,SB2+BC2=(2 )2+42=24=SC2,故△SCD为等腰三角形,△SCB为直角三角形.过D作DK⊥SC于点K,则DK= = ,△SCD的面积为 × ×2 =2 ,△SBC的面积为 ×2 ×4=4 .所求几何体的表面积为 ×(2+4)×2+2× ×2×2+4 +2 =10+4 +2 ,选C.2224522(25)262222222222222(22)(6)212263122212122323答案C栏目索引考点清单方法技巧例2(2018河南顶级名校3月联考,10)某四棱锥的三视图如图所示,其中正视图的轮廓是边长为2的正方形,侧视图的轮廓是底边长分别为2和1的直角梯形,则该几何体的体积为 () A. B. C. D. 8343823423考向二空间几何体的体积栏目索引考点清单方法技巧解析如图,在棱长为2的正方体中,点A,B,C为正方体的顶点,点D,E为所在棱的中点,由三视图还原后的几何体为四棱锥A-BCDE,分析知四棱锥的侧面ABE⊥底面BCDE,点A到直线BE的距离即棱锥的高,易求得其为 ,求得CD= ,故四棱锥的体积V= ×2× × = ,故选A. 455513545583答案A栏目索引考点清单方法技巧方法1空间几何体的三视图与直观图三视图与直观图的常见题型及求解策略(1)由直观图求三视图,注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,同时也要注意能看到的轮廓线用实线表示,看不到的轮廓线用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩下的视图.先根据已知的部分三视图,推测、还原直观图的可能形式,然后找其剩下部分三视图的可能形式,做选择题时,也可以将选项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由三视图还原几何体的形状.熟悉柱、锥、台、球的三视图,结合空间想象将三视图还原为直观图.方法技巧栏目索引考点清单方法技巧例1(2017河北衡水中学七调,5)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为 ()  栏目索引考点清单方法技巧解题导引 解析过点A,E,C1的截面为AEC1F,如图,则剩余几何体的左视图为选项C中的图形.故选C. 答案C栏目索引考点清单方法技巧方法2空间几何体表面积和体积的求解方法1.求空间几何体表面积的方法(1)规则几何体的表面积可利用有关公式求解;(2)求多面体的表面积时把各个面的面积相加即可;(3)求除球外的旋转体的表面积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,确定它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系,进而求表面积;(4)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割或补形成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求几何体的表面积.2.求空间几何体体积的方法(1)求简单几何体的体积,若所给的几何体为柱体、锥体、台体或球,则可以直接利用公式求解.栏目索引考点清单方法技巧(2)求组合体的体积,若所给的几何体是组合体,则不能直接利用公式求解,常用转换法、分割法、补形法等进行求解.(3)三棱锥的体积常用等体积法求解.(4)求以三视图为背景的几何体的体积,应根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.栏目索引考点清单方法技巧例2(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为. 14解题导引 栏目索引考点清单方法技巧解析由三视图得该几何体的直观图(如图). 其中,长方体的长,宽,高分别为2,1,1,圆柱体的底面半径为1,高为1.所以该几何体的体积V=2×1×1+ ×π×12×1=2+ .122答案2+ 2栏目索引考点清单方法技巧方法3与球有关的切、接问题的求解方法1.“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理:球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时要找准切点,通过作截面来解决.(2)“接”的处理:把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.2.与球有关的组合体的常用结论(1)长方体的外接球:①球心:体对角线的交点;②半径:r= (a,b,c为长方体的长、宽、高).2222abc栏目索引考点清单方法技巧(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球:①外接球:球心是正方体的中心,半径r= a(a为正方体的棱长);②内切球:球心是正方体的中心,半径r= (a为正方体的棱长);③与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心,半径r= a(a为正方体的棱长).(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分):①外接球:球心是正四面体的中心,半径r= a(a为正四面体的棱长);②内切球:球心是正四面体的中心,半径r= a(a为正四面体的棱长).322a2264612栏目索引考点清单方法技巧例3(2018河南安阳一模,16)在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球,晃动此正方体,则小球可以经过的空间的体积为.解题导引 栏目索引考点清单方法技巧解析先考虑小球不能经过的空间的体积.(1)当小球与正方体一顶点处的三个面都相切时,球面与该顶点处的三个面之间形成的空隙小球始终无法经过,其体积为13- × ×13=1- .正方体有8个顶点,共形成8个无法经过的空隙,总体积为8× =8- .(2)小球只与正方体过同一条棱的两个面相切时,在该棱处能形成一个高为2的小柱体,其体积为 ×2=2- ,正方体共有12条棱,则12个小柱体的体积为 ×12=24-6π.所以小球可以经过的空间的体积为64- -(24-6π)=32+ .18436164314222483223答案32+ π223