82空间点线面的位置关系

曲一线让每一位学生分享高品质教育1/108.2空间点、线、面的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.点、线、面的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义,了解有关可以作为推理依据的公理和定理.②能运用公理、定理和已获得的结论证明空间图形的位置关系2016浙江,2,5分点、线、面的位置关系线面平行、垂直的性质★★☆2015福建,7,5分线、面的位置关系充分条件、必要条件2.异面直线所成的角会求异面直线所成的角2018课标Ⅱ,9,5分异面直线所成的角余弦定理、空间向量★★★2017课标Ⅱ,10,5分异面直线所成的角余弦定理、空间向量2016课标Ⅰ,11,5分异面直线所成的角面面平行的性质2014课标Ⅱ,11,5分异面直线所成的角余弦定理、空间向量分析解读1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明有关异面或共面问题.2.会判定和证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为依托,求异面直线所成的角,分值约为5分,属中档题.破考点【考点集训】考点一点、线、面的位置关系曲一线让每一位学生分享高品质教育2/101.(2018四川泸州模拟,6)设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是()A.a∥b,b⊂α,则a∥αB.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bC.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥βD.α∥β,a⊂α,则a∥β答案D2.(2018江西期中,4)如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案D3.(2017河北邯郸调研,5)如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能答案B考点二异面直线所成的角1.(2017河北唐山3月模拟,10)已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4√3,则异面直线PA与MN所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°答案A2.(2018广东东莞模拟,6)在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角为()曲一线让每一位学生分享高品质教育3/10A.90°B.60°C.45°D.30°答案C炼技法【方法集训】方法1点、线、面位置关系的判定及应用1.(2018四川泸州模拟,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A.4B.5C.6D.7答案C2.(2017河北邢台二模,5)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.给出下列四个命题:①若m∥n,m⊥β,则n⊥β;②若m∥n,m∥β,则n∥β;③若m∥α,m∥β,则α∥β;④若n⊥α,n⊥β,则α⊥β.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案A3.(2018安徽皖南八校联考,15)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于点B,C),点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长的取值范围为.答案(0,12]方法2异面直线所成角的求法1.(2018河北、山西、河南三省4月联考,10)在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A.58B.34C.78D.14答案A2.(2018上海普陀一模,18)如图所示的圆锥的体积为√33π,底面直径AB=2,点C是𝐴𝐵⏜的中点,点D是母线PA的中点.曲一线让每一位学生分享高品质教育4/10(1)求该圆锥的侧面积;(2)求异面直线PB与CD所成角的大小.解析(1)∵圆锥的体积为√33π,底面直径AB=2,∴13π×12×PO=√33π,解得PO=√3,∴PA=√(√3)2+12=2,∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π.(2)连接OC.∵点C是𝐴𝐵⏜的中点,O为底面圆心,∴PO⊥平面ABC,OC⊥AB,∴以O为原点,OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),P(0,0,√3),D(0,-12,√32),B(0,1,0),C(1,0,0),𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,-√3),𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,-12,√32),设异面直线PB与CD所成角为θ,则cosθ=|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗||𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=22√2=√22,∴θ=π4.∴异面直线PB与CD所成角为π4.过专题曲一线让每一位学生分享高品质教育5/10【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2017课标Ⅱ,10,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.√32B.√155C.√105D.√33答案C2.(2016课标Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.√32B.√22C.√33D.13答案A3.(2014课标Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A.110B.25C.√3010D.√22答案C4.(2017课标Ⅲ,16,5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)答案②③B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一点、线、面的位置关系1.(2015广东,8,5分)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()A.至多等于3B.至多等于4曲一线让每一位学生分享高品质教育6/10C.等于5D.大于5答案B2.(2015福建,7,5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B3.(2014广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案D考点二异面直线所成的角(2015四川,14,5分)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为.答案25C组教师专用题组1.(2013课标全国Ⅱ,4,5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l答案D曲一线让每一位学生分享高品质教育7/102.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.解析(1)证明:因为PD=PC,点E为DC的中点,所以PE⊥DC.又因为平面PDC⊥平面ABCD,交线为DC,所以PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD,所以PE⊥FG.(2)由(1)可知,PE⊥AD.因为四边形ABCD为长方形,所以AD⊥DC.又因为PE∩DC=E,所以AD⊥平面PDC.而PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.由二面角的平面角的定义,可知∠PDC为二面角P-AD-C的一个平面角.在Rt△PDE中,PE=√𝑃𝐷2-D𝐸2=√7,所以tan∠PDC=𝑃𝐸𝐷𝐸=√73.从而二面角P-AD-C的正切值为√73.(3)连接AC.因为𝐹𝐵𝐴𝐵=𝐵𝐺𝐵𝐶=13,所以FG∥AC.易求得AC=3√5,PA=√𝑃𝐷2+D𝐴2=5.所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角,即∠PAC,在△PAC中,cos∠PAC=𝑃𝐴2+A𝐶2-P𝐶22𝑃𝐴·𝐴𝐶=9√525.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为9√525.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2019届广东汕头第三次联考,4)下列命题中,错误命题的个数为()曲一线让每一位学生分享高品质教育8/10(1)直线a与平面α不平行,则直线a与平面α内的所有直线都不平行;(2)直线a与平面α不垂直,则直线a与平面α内的所有直线都不垂直;(3)异面直线a、b不垂直,则过直线a的任何平面与直线b都不垂直;(4)若直线a和b共面,直线b和c共面,则直线a和c共面.A.1B.2C.3D.4答案C2.(2019届黑龙江哈尔滨师范大学附中期中,6)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,则直线A1B与AC1所成角的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°答案B3.(2019届辽宁沈阳东北育才学校模拟,8)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是()A.CC1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE,B1C1为异面直线且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E答案C4.(2019届广东肇庆第一次统测,9)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1各条棱的长度均相等,D为AA1的中点,M,N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点),且满足BM=C1N,当M,N运动时,下列结论中不正确···的是()A.在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段B.平面DMN⊥平面BCC1B1C.三棱锥A1-DMN的体积为定值曲一线让每一位学生分享高品质教育9/10D.△DMN可能为直角三角形答案D5.(2017广东惠州三调,11)如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:①直线BE与直线CF异面;②直线BE与直线AF异面;③直线EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案B6.(2018四川成都二诊,5)已知m,n是空间中两条不同的直线,α,β为空间中两个互相垂直的平面,则下列命题正确的是()A.若m⊂α,则m⊥βB.若m⊂α,n⊂β,则m⊥nC.若m⊄α,m⊥β,则m∥αD.若α∩β=m,n⊥m,则n⊥α答案C7.(2018山东泰安二模,9)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC.若m∥α,m∥β,则α∥βD.若m⊥α,n⊥α,则m∥n答案D8.(2018四川泸州模拟,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为()A.√5