高三一轮复习--7-函数的奇偶性与周期性

第二章函数、导数及其应用第四节函数的奇偶性与周期性高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第四步返回考纲点击结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．返回返回1．对任意实数x，下列函数为偶函数的是()A．y＝2x－3B．y＝sinxC．y＝ln5xD．y＝|x|cosx解析：A是非奇非偶函数，B是奇函数，C是奇函数，D是偶函数．答案：D返回2．“函数f(x)为奇函数”是“f(0)＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：函数y＝1x为奇函数，但f(0)不存在；对函数f(x)＝x2，有f(0)＝0，但f(x)为偶函数，因此“函数f(x)为奇函数”是“f(0)＝0”的既不充分又不必要条件．答案：D返回3．(2011·陕西高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是()返回解析：由f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，由f(x＋2)＝f(x)知f(x)是周期为2的函数，再结合图象可知B正确．答案：B返回4．(2011·浙江高考)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析：由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|.∴a＝0.答案：0返回5．如果函数g(x)＝2x－3，（x0）fx，(x0)是奇函数，则f(x)＝________.解析：令x0，∴－x0，g(－x)＝－2x－3＝－g(x)．∴g(x)＝2x＋3.∴f(x)＝2x＋3.答案：2x＋3返回1．函数的奇偶性奇偶性定义图像特点奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数关于对称f(－x)＝－f(x)y轴返回奇偶性定义图像特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称f(－x)＝－f(x)原点返回2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小最小正数返回返回[做一题][例1]判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f(x)＝x2＋|x|－1，x∈[－1,4]；(2)f(x)＝lgx2＋lg1x2；(3)f(x)＝x＋2x－1，－x＋2x1.返回[自主解答](1)定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇偶函数．(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(x)＝lgx2＋lg1x2＝lgx2－lgx2＝0.∴f(x)既是奇函数又是偶函数．返回(3)定义域(－∞，－1)∪(1，＋∞)关于原点对称．∵当x－1时，－x1.∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)(x－1)．当x1时，－x－1，∴f(－x)＝－x＋2＝f(x)(x1)．∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．返回[悟一法]判断函数奇偶性的方法：(1)首先确定函数的定义域，看是否关于原点对称．否则，既不是奇函数也不是偶函数．(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：①定义判断：f(－x)＝f(x)⇔f(x)为偶函数，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数．返回②等价形式判断：f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数，f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数．或等价于：f－xfx＝1，则f(x)为偶函数；f－xfx＝－1，则f(x)为奇函数．返回(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行．(4)对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑来判定．返回[通一类]1．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；返回解：(1)由3－x2≥0，x2－3≥0得x＝－3或x＝3.∴函数f(x)的定义域为{－3，3}.又∵对任意的x∈{－3，3},－x∈{－3，3},且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0.∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．返回(2)∵4－x2≥0，|x＋3|≠3，∴－2≤x≤2且x≠0，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．又∵x＋30,∴f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x.又f(－x)＝4－－x2－x,∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数.返回[做一题][例2]已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]且x1≠x2时，都有fx1－fx2x1－x20，给出下列命题：返回①f(3)＝0；②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；④函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．其中正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上)返回[自主解答]取x＝－3，得f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，而f(－3)＝f(3)，所以f(3)＝0，命题①正确；从而已知条件可化为f(x＋6)＝f(x)，于是f(－6＋x)＝f(－6＋x＋6)＝f(x)＝f(6＋x)＝f(－6－x)，所以对称轴为x＝－6.命题②正确；因为当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有fx1－fx2x1－x20，所以此时函数f(x)单调递增,返回从而f(x)在[－3,0]上单调递减，又从上述过程可知原函数的周期为6，从而当x∈[－9，－6]时，x＋6∈[－3,0]，此时为减函数，所以命题③错误．同理，f(x)在[3,6]上单调递减，所以只有f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0.得命题④正确．综上所述，正确命题的序号为①②④.[答案]①②④返回[悟一法]奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图像等问题，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得．返回[通一类]2．(2012·浙江五校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)返回解析：∵f(x)是奇函数，∴当x0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)f(a)，得2－a2a，即－2a1.答案：D返回[做一题][例3]已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[1,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数返回[自主解答]由f(x)在[－1,0]上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在[0,1]上是增函数．由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，故2是函数f(x)的一个周期．结合以上性质，模拟画出f(x)部分图象的变化趋势，如下图．由图像可以观察出，f(x)在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数．[答案]D返回[悟一法]关于周期函数的常用结论：(1)若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：①f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期：②f(x＋a)＝1fx，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期：③f(x＋a)＝－1fx，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；返回(2)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z，k≠0)也是函数y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．②若已知区间[m，n](mn)上的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z，k≠0)上的图象．返回[通一类]3．(2012·临沂模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)，且f(－1)＝2，则f(2013)等于()A．1B．2C．3D．4返回解析：在f(x＋4)＝f(x)＋2f(2)中，令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋2f(2)．即f(2)＝f(2)＋2f(2)，故f(2)＝0.∴f(x＋4)＝f(x)．即函数f(x)是以4为周期的函数，又2013＝4×503＋1，因此f(2013)＝f(1)＝f(－1)＝2.答案：B返回返回[热点分析]函数的奇偶性、周期性的应用是高考的必考内容，多以选择题或填空题的形式考查，其中奇偶性多与单调性结合起来考查，而周期性多与抽象函数相结合，并以结合奇、偶性求函数值为主．返回[考题印证](2011·福建高考)对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是()A．4和6B．3和1C．2和4D．1和2返回[考题巧解]——————(一样的结果，更简洁的过程)[巧思]可将1，－1分别代入函数式，然后计算出f(1)＋f(－1)＝2c，由2c是偶数，来巧妙排除选项，得解．[妙解]由已知，有f(1)＝asin1＋b＋c，f(－1)＝－asin1－b＋c，∴f(1)＋f(－1)＝2c，∵c∈Z，∴f(1)＋f(－1)是一个偶数．而D项中给出的两数一奇一偶，两个数的和为奇数．[答案]D返回1．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)有fx2－fx1x2－x10，则()A．f(3)f(－2)f(1)B．f(1)f(－2)f(3)C．f(－2)f(1)f(3)D．f(3)f(1)f(－2)返回解析：由条件，偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，又f(－2)＝f(2)，123.∴f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(－2)f(1)．答案：A返回2．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于()A．－2B．－1C．1D．2解析：∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)·(x－a)(－3≤x≤3)∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝1，f(x)＝(x＋1)(x－1)，(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.答案：B返回3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1B．1C．－2D．2解析：由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.答案：A返回4．已知函数f(x)＝x2＋x，x≤0，ax2＋bx，x0为奇函数，则a＋b＝________；解析：当x0时，则－x0，∴f(x)＝x2＋x，f(－x)＝ax2－bx，而f(－x)＝－f(x)，即－x2－x＝ax2－bx，∴a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.答案：0返回5．函数y＝f(x)的定义域为R，且具有以下性质：①f(－x)－f(x)＝0；②f(x＋2)·f(x)＝1；③y＝f(x)在[0,2]上为单调增函数．则对于下述命题：(1)y＝f(x)的图象关于原点对称．(2)y＝f(x)为周期函数且最小正周期为4.(3)y＝f(x)在区间[2,4]上是减函数．正确命题的序号是________．返回答案：(2)(3)解析：由①得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数；由②f(x＋2)·f(x)＝1得，f(x＋4)·f(x