谈“尺规作图”与构造等腰三角形

龙源期刊网谈“尺规作图”与构造等腰三角形作者：马云来源：《理科考试研究·初中》2013年第08期用尺规作图来构造等腰三角形的方法，主要就是利用尺规作图来画中垂线，具体的操作就是以已知线段的两个端点为圆心画圆，再把两圆相交的两个点连结起来，得到的就是已知线段的中垂线，线段中垂线上的点到已知线段的两个端点的距离相等，那么这样就构成了等腰三角形.在这里，我根据平时的教学经验，总结了一些用尺规作图来找出符合条件的三角形的方法.下面我们来看几道有关用尺规作图找等腰三角形的典型题目，并总结出解题的思路和方法.类型一：等腰三角形与方格例（2010年株洲）在如图1的正方形网格中，横向与纵向网格线所形成的交点称为格点.A、B是其中的两个格点，设点C也是图形中的其中一个格点，使得△ABC为等腰三角形，那么满足条件的C点有个.分析首先可以把A、B两点连结起来，然后分两种情况来找符合条件的等腰三角形.第一种情况就是以线段AB为等腰三角形的底边.第二种情况就是以线段AB为腰的等腰三角形.在第一种情况中，以AB为等腰三角形的底边，那么等腰三角形的顶点就在AB的中垂线线上，只要我们把AB的中垂线作出来，再找出中垂线与图中网格的交点即可.因为图为正方形，所以线段AB的中垂线即是正方形的对角线，如图所示，可以找出C5、C6、C7和C8这四个点.另一种情况，以AB为腰的等腰三角形，可以分别以A、B为圆心，半径为AB画圆，这两个圆与正方形相交的格点就是C点的位置，但是要出除与AB在同一条直线上的点，这样就可以得到C1、C2、C3和C4这四个点.所以，符合条件的点共有8个.在这道题中，很多学生用直接数的方法就很容易会漏掉一些点，用尺规作图的方式就可以很轻松地把这些点找出来，不易遗漏.类型二：等腰三角形与坐标例（2010年承德）如图2所示，在平面直角坐标系中，O点为坐标原点，一次函数y=kx-3的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，且△OAB的面积为6.设点P在x轴上，当△ABP是等腰三角形时，点P的坐标是多少？分析这道题与上面那道题其实是大同小异的，同样以已知线段AB来构造等腰三角形，还是要分为两种情况来作图.第一种情况就是以线段AB为腰的等腰三角形，分别以A、B两点为圆心，线段AB为半径画两个圆，那么这两个圆与x轴的交点就是要找的P点，这样可以得到三个点，如图所示的龙源期刊网、P2和P3.第二种情况是以线段AB为等腰三角形的底边，那么用尺规作出AB的中垂线，中垂线与x轴的交点就是要找的点，如图中的P4.对于P点的坐标，这里就不详说.在解题的过程中，求出点P的坐标并不是很困难，关键就是要把符合条件的点找全，通常学生们会漏掉，如果用这种尺规作图的方式，先把点的位置找出来，再根据已知条件把点的坐标求出来，这样就可以保证不缺不漏，顺利解决问题.把抛物线的对称轴画出来，然后用尺规作图来求出符合条件的P点.分别以A、B两点为圆心，线段AB的长度为半径，画得的两个圆与抛物线的对称轴的交点有4个，取x轴下方的两个点P1、P2.另外，再作线段AB的中垂线，交抛物线的对称轴于P3点，该点同样符合条件.所以，总共有3个点是符号条件的，再分别求出这几个点的坐标.像这类求符合条件的点的题型，是中考里面经常会出现的，而且还是出现在压轴题中，从平时的考试及测验结果来看，大部分学生对这种问题都能拿一点分，但却不能拿满分，他们能找出个别比较容易理解和观察到的点，但却不能把所有的点都找全，从而导致失分.在这种问题中，求动点与已知点构成等腰三角形的类型也很多，但这类题可以用简单巧妙的方法迅速把符合条件的点找出来.从上面几个例题中，我们不难发现，尺规作图用于这种题型中确实具有很大的优势，因此，学生们要加以理解和掌握.尺规作图只是一种很简单的作图方法，最开始只是用于单纯的作图.但是能够灵活运用的话，还是可以发挥出很大的作用.在平常的学习中，学生们也要善于灵活运用各种方法来解较复杂的问题.只要找对了方法，复杂的问题就变得简单了.