解三角形的应用.ppt

解三角形的应用基础知识梳理1．有关概念(1)仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫，目标视线在水平视线下方时叫．仰角俯角如图所示．基础知识梳理(2)方位角：从正方向沿顺时针到目标方向线的水平角叫方位角．(3)坡角：坡面与面的夹角叫坡角．(4)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之叫做坡比．基础知识梳理比水平北2．解斜三角形在实际中的应用解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识．解题的一般步骤是：(1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．基础知识梳理(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．基础知识梳理1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°答案：B三基能力强化2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于()A．10°B．50°C．120°D．130°答案：D三基能力强化3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，b答案：A三基能力强化4．我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的最小速度为________．答案：14海里/小时三基能力强化5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，这条河的宽度为________．答案：60m三基能力强化有关距离测量问题，主要是测量从一个可到达的点到一个不能到达的点之间的距离问题，如海上、空中两点测量，隔着某一障碍物两点测量等．由于该问题不能采取实地测量，解决它的方法是建立数学模型，即构造三角形，转化为解三角形问题．通常是根据题意，典例分析考点一测量距离从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．解题时应认真审题，结合图形去选择定理，使解题过程简捷．典例分析例1(2009年高考辽宁卷)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水典例分析面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449)．典例分析【思路点拨】计算∠ADC→AC＝DC→AB＝BD→在△ABC中计算AB→求得BD典例分析【解】在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，所以AB＝ACsin60°sin15°＝32＋620.即BD＝32＋620≈0.33(km)．故B、D的距离约为0.33km.【规律小结】求距离问题一般要注意：(1)基线的选取要准确恰当(在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例1中的CD)．(2)选定或创建的三角形要确定．(3)利用正弦定理还是余弦定理要确定．典例分析测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度；这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决．典例分析考点二测量高度典例分析例2某人在山顶P处观察地面上相距2500m的两个目标A、B，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1m)．典例分析【思路点拨】结合题意画出图形用山高h表示底面三角形未知边长度在底面三角形中借助余弦定理列方程解方程求出高h【解】画出示意图典例分析典例分析设山高PQ＝h，则△APQ、△BPQ均为直角三角形，在图①中，∠PAQ＝30°，∠PBQ＝45°.∴AQ＝PQ1tan30°＝3h，BQ＝PQ1tan45°＝h.在图②中，∠AQB＝57°＋78°＝135°，AB＝2500，典例分析所以由余弦定理得AB2＝AQ2＋BQ2－2AQ·BQcos∠AQB，即25002＝(3h)2＋h2－23h·h·cos135°＝(4＋6)h2，∴h＝25004＋6≈984.4(m)．因此所求山高约为984.4m.【规律小结】(1)依据题意画图是解决三角形应用题的关键．本例中，既有方位角(它是在水平面上所成的角)，又有俯角(它是铅垂面上所成的角)，因而本例的图形是一个立体图形，因此在画图时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解；典例分析(2)由本例可知，方位角是相对于在某地而言的，因此在确定方位角时，必须先弄清是哪一点的方位角．从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差．典例分析测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值；如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了．典例分析考点三测量角度典例分析例3在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？典例分析【思路点拨】本例考查正弦、余弦定理的建模应用．如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.典例分析典例分析【解】设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝6，典例分析且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．【名师点评】首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题时也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．典例分析1．利用正、余弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化，即a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.2．要熟记三角形的面积公式典例分析考点四解三角形的综合问题S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.注意其特点，是两边及其夹角正弦值的乘积的一半．典例分析例4(解题示范)(本题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足b2＋c2－a2＝bc.(1)求角A的值；(2)若a＝3，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y＝f(x)的最大值．典例分析【思路点拨】利用b2＋c2－a2＝bc→计算cosA→角A→利用正弦定理计算b，c→周长y→求得最值典例分析【解】(1)∵b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.2分又∵0Aπ，∴A＝π3.4分(2)∵bsinx＝asinA，∴b＝asinπ3·sinx＝332·sinx＝2sinx.6分同理：c＝asinA·sinC＝2sin(2π3－x).8分典例分析∴y＝2sinx＋2sin(2π3－x)＋3＝23sin(x＋π6)＋3.10分∵A＝π3，∴0x2π3，∴x＋π6∈(π6，5π6)，∴当x＋π6＝π2，即x＝π3时，ymax＝33.12分【误区警示】(1)不能正确表示b，c.(2)忽略了x的取值范围．(3)不能利用三角函数的单调性．典例分析(本题满分12分)已知向量a＝(sinα，cosα)，b＝(6sinα＋cosα，7sinα－2cosα)，设函数f(α)＝a·b.(1)求函数f(α)的最大值；典例分析高考检阅(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝6，且△ABC的面积为3，b＋c＝2＋32，求a的值．典例分析解：(1)f(α)＝a·b＝sinα(6sinα＋cosα)＋cosα(7sinα－2cosα)＝6sin2α－2cos2α＋8sinαcosα＝4(1－cos2α)＋4sin2α－2＝42sin(2α－π4)＋24分∴f(α)max＝42＋2.6分典例分析(2)由(1)可得f(A)＝42sin(2A－π4)＋2＝6，sin(2A－π4)＝22.因为0Aπ2，所以－π42A－π43π4，2A－π4＝π4，A＝π4.8分典例分析∵S△ABC＝12bcsinA＝24bc＝3，∴bc＝62，10分又b＋c＝2＋32，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bc×22＝(2＋32)2－122－2×62×22＝10，∴a＝10.12分1．解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．规律方法总结(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．规律方法总结2．解斜三角形实际应用举例(1)常见的几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(2)解题时需注意的几个问题①要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；②要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．规律方法总结