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2014年中考数学复习第十四讲二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、二次函数的定义:一般地如果y=(a、b、c是常数a≠0)那么y叫做x的二次函数【名师提醒:二次函数y=kx2+bx+c(a≠0)的结构特征是:1、等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是,按依次排列2、强调二次项系数a0】二、二次函数的同象和性质:1、二次函数y=kx2+bx+c(a≠0)的同象是一条,其定点坐标为对称轴式2、在抛物y=kx2+bx+c(a≠0)中:1、当a0时,y口向,当x-2ba时,y随x的增大而,当x时,y随x的增大而增大,2、当a0时,开口向当x-2ba时,y随x增大而增大,当x时,y随x增大而减小【名师提醒:注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax2,对称轴顶点坐标2、y=ax2+k,对称轴顶点坐标3、y=a(x-h)2对称轴顶点坐标4、y=a(x-h)2+k对称轴定顶点坐标】三、二次函数同象的平移【名师提醒:二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移,固然要掌握整抛物线的平移,只要关键的顶点平移即可】四、二次函数y=ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系:a:开口方向向上则a0,向下则a0|a|越大,开口越b:对称轴位置,与a联系一起,用判断b=0时,对称轴是xkb1.comc:与y轴的交点:交点在y轴正半轴上,则c0负半轴上则c0,当c=0时,抛物点过点【名师提醒:在抛物线y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=当x=-1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】【重点考点例析】考点一:二次函数图象上点的坐标特点例1(2012•常州)已知二次函数y=a(x-2)2+c(a>0),当自变量x分别取2、3、0时,对应的函数值分别:y1,y2,y3,,则y1,y2,y3的大小关系正确的是()A.y3<y2<y1B.y1<y2<y3C.y2<y1<y3D.y3<y1<y2对应训练1.(2012•衢州)已知二次函数y=12x2-7x+152,若自变量x分别取x1,x2,x3,且0<x1<x2<x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是()A.y1>y2>y3B.y1<y2<y3C.y2>y3>y1D.y2<y3<y1考点二:二次函数的图象和性质例2(2012•咸宁)对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法:①它的图象与x轴有两个公共点;②如果当x≤1时y随x的增大而减小,则m=1;③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=-1;④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数值为-3.其中正确的说法是.(把你认为正确说法的序号都填上)考点:二次函数的性质;二次函数图象与几何变换;抛物线与x轴的交点.对应训练2.(2012•河北)如图,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=12(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=1;③当x=0时,y2-y1=4;④2AB=3AC;其中正确结论是()A.①②B.②③C.③④D.①④2题图例3图3题图例4图考点三:抛物线的特征与a、b、c的关系例3(2012•玉林)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为x=1,有如下结论:①c<1;②2a+b=0;③b2<4ac;④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2,则正确的结论是()A.①②B.①③C.②④D.③④对应训练3.(2012•重庆)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示对称轴为x=12.下列结论中,正确的是()A.abc>0B.a+b=0C.2b+c>0D.4a+c<2b考点四:抛物线的平移例4(2012•桂林)如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位后,其顶点在直线上的A处,则平移后的抛物线解析式是()A.y=(x+1)2-1B.y=(x+1)2+1C.y=(x-1)2+1D.y=(x-1)2-1对应训练4.(2012•南京)已知下列函数①y=x2;②y=-x2;③y=(x-1)2+2.其中,图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有(填写所有正确选项的序号).【备考真题过关】一、选择题1.(2012•白银)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则函数值y<0时x的取值范围是()A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>31题图2题图5题图6题图2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>-3C.k<3D.k>33.(2012•德阳)设二次函数y=x2+bx+c,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么c的取值范围是()A.c=3B.c≥3C.1≤c≤3D.c≤34.(2012•北海)已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为()A.(-2,-1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-2,1)5.(2012•广元)若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a、b为常数)的图象如图,则a的值为()A.1B.2C.-2D.-26.(2012•西宁)如同,二次函数y=ax2+bx+c的图象过(﹣1,1)、(2,﹣1)两点,下列关于这个二次函数的叙述正确的是()A.当x=0时,y的值大于1B.当x=3时,y的值小于0C.当x=1时,y的值大于1D.y的最大值小于07.(2012•巴中)对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是()A.图象的开口向下B.当x>1时,y随x的增大而减小C.当x<1时,y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=-18.(2012•天门)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).对于下列命题:①b-2a=0;②abc<0;③a-2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有()A.3个B.2个C.1个D.0个8题图9题图13题图14题图9.(2012•乐山)二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0).设t=a+b+1,则t值的变化范围是()A.0<t<1B.0<t<2C.1<t<2D.-1<t<110.(2012•扬州)将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数关系式是()A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2-2C.y=(x-2)2+2D.y=(x-2)2-211.(2012•宿迁)在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是()[来源:学_科_网Z_X_X_K]A.(-2,3)B.(-1,4)C.(1,4)D.(4,3)12.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-x-6向上(下)或向左(右)平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m|的最小值为()A.1B.2C.3D.6二、填空题13.(2012•玉林)二次函数y=-(x-2)2+94的图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界),横、纵坐标都是整数的点有个(提示:必要时可利用下面的备用图画出图象来分析).14.(2012•长春)在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为.15.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示.对于下列说法①abc<0:②a-b+c<0;③3a+c<0;④当-1<x<3时,y>0.其中正确的是(把正确的序号都填上).14题图20题图16.(2012•苏州)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上,若x1>x2>1,则(填“>”、“<”或“=”).16.(2012•成都)有七张正面分别标有数字-3,-2,-1,0,l,2,3的卡片,它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a(a-3)=0有两个不相等的实数根,且以x为自变量的二次函数y=x2-(a2+1)x-a+2的图象不经过点(1,0)的概率是.17.(2012•上海)将抛物线y=x2+x向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是.18.把二次函数y=(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为.19.(2012•贵港)若直线y=m(m为常数)与函数y=的图象恒有三个不同的交点,则常数m的取值范围是.20.如图,把抛物线y=12x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为.三、解答题21.(2012•柳州)已知:抛物线y=34(x-1)2-3.(1)写出抛物线的开口方向、对称轴;(2)函数y有最大值还是最小值?并求出这个最大(小)值;(3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式.22.(2012•佛山)规律是数学研究的重要内容之一.初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面.请你解决以下与数的表示和运算相关的问题:(1)写出奇数a用整数n表示的式子;(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子;(3)函数的研究中,应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律).下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究:xi012345…yi01491625…[来源:学|科|网]yi+1﹣yi1357911…由表看出,当x的取值从0开始每增加1个单位时,y的值依次增加1,3,5…请回答:①当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值变化规律是什么?②当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值变化规律是什么?
本文标题:2014年中考数学复习第十四讲--二次函数的图象和性质
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