D10-3三重积分-柱坐标与极坐标

目录上页下页返回结束利用柱坐标计算三重积分的步骤考虑是否用柱坐标计算化为柱坐标系下三重积分积分次序：定限方法：化为累次积分计算累次积分注意对一个变量积分时，将其余变量视为常数Ω的投影为圆或圆的一部分f(x,y,z)中含有22xy或arctanyx(,,)dddfxyzxyz三变、一勿忘(,,)fxyz积分区域Ω柱坐标表示被积函数(cos,sin,)fz体积元素dddxyzdddz一个勿忘一般先z后ρ再θ投影、发射(cos,sin,)dddfzz目录上页下页返回结束利用球坐标计算三重积分的步骤考虑是否用球坐标计算化为球坐标系下三重积分积分次序：定限方法：化为累次积分计算累次积分注意对一个变量积分时，将其余变量视为常数．Ω的球或球的一部分f(x,y,z)中含有222xyz(,,)dddfxyzxyz三变、一勿忘(,,)fxyz积分区域Ω球坐标表示被积函数(,,)Fr体积元素dddxyz2sindddrr一个勿忘2sinr一般先r后φ再θ．观察、想象．2(sinsin,sincos,cos)sindddfrrrrr目录上页下页返回结束三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素dvdxdydz（计算时将三重积分化为三次积分）小结方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”),(),(21d),,(ddyxzyxzDzzyxfyxZDbayxzyxfzdd),,(d目录上页下页返回结束2.确定上下曲面函数，得z的积分限;1.把Ω往xoy平面上投影,得积分区域D;3.先求关于z的定积分,得x,y的二元函数;4.再求关于x,y的二重积分.先一后二”积分法的基本步骤:2.对z∈[a,b]用过点(0,0,z)且平行xOy平面的平面去截Ω，得截面Dz;1.把Ω向z轴投影,得z的积分限[a,b];3.先求关于x,y的二重积分,得“先二后一”积分法的基本步骤:4.最后计算单积分()baFzdz()(,,)zDFzfxyzdxdyabxyzzzDzyxyxDO目录上页下页返回结束第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分第十章目录上页下页返回结束回忆用投影法（先一后二）计算三重积分(,,)DfxyzdVdxdy21(,)(,)(,,)zxyzxyfxyzdz如果积分区域在坐标面上的投影区域D是圆域则二重积分应当考虑用极坐标计算.这就等于用柱面坐标计算三重积分.2.利用柱坐标计算三重积分zyxyxDO目录上页下页返回结束xyz2.利用柱坐标计算三重积分,),,(3RzyxM设,,,代替用极坐标将yx),,z（则就称为点M的柱坐标.zπ200sinyzzcosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面z),,(zyxM)0,,(yxO目录上页下页返回结束d;柱面与xyzodzvdd;半平面与dzzz平面与ddzz在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因此zyxzyxfddd),,(zdddddd,D当积分域的投影域为与圆域有关的区域时,(,).zzr一般选用柱面坐标此时曲面应表示为元素区域由六个坐标面围成目录上页下页返回结束如图所示,在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因此zyxzyxfddd),,(其中),sin,cos(),,(zfzF适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.zdddzzddddxyzddO目录上页下页返回结束常见曲面的柱面坐标方程曲面直角坐标方程柱面坐标方程222zaxy22zar22zxyzr22zxy2zr222xyara222xyax2cosra半球面圆锥面旋转抛物面圆柱面圆柱面圆柱面222xyay2sinra目录上页下页返回结束常见曲面的柱面坐标方程目录上页下页返回结束2、利用公式用柱面坐标计算三重积分的一般步骤：1、将区域往xoy面上投影，确定平面区域Dcos,sin,.xryrzz3、过D内任一点（x，y）做平行于z轴的直线，穿区域确定z的上下限；4、在D上分别确定r、上下限（类同于平面极坐标）次序为：zr将的边界曲面、被积函数f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为柱面坐标系下形式；柱面坐标常用于：圆柱体和圆锥体上的三重积分。目录上页下页返回结束例1.计算三重积分22zxy4z所围成.与平面其中由抛物面OOxyz在柱面坐标系下424zdz22012π(16)d220dπ20dzvdddd原式=64.3解:在xOy面上的投影区域D:上边界曲面为z4下边界曲面为z.目录上页下页返回结束例2.计算22(),xydv22zxy解：222zxyz由22()xydv222200dddz22302ddz2302(2)d165故在xOy平面224,xy得交线上投影区域为2z所围成.与平面其中由圆锥面22{(,)|4}xyDxyxy上边界曲面为z4下边界曲面为z.ddddvz目录上页下页返回结束解:2222zz1,1,zxyzo2124001(2)2dd例3.计算三重积分22xyz所围成.与抛物面其中由球面2222xyz知交线为由222dzz10dπ20d原式=1246011467.1222,z上边界:下边界:2,z目录上页下页返回结束2axyzO其中为例4.计算三重积分xyx2220),0(,0yaazz所解:在柱面坐标系下:cos2020az0及平面zvddddzzddd2原式由柱面cos2围成半圆柱体.cos202ddcos342π032aπ20d0dazz298a目录上页下页返回结束3.利用球坐标计算三重积分,),,(3RzyxM设),,,(z其柱坐标为就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,zOMzr),,(r则π0π200rcossinrxsinsinrycosrz坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面,rOM令),,(rMsinrcosrzMxyzOP目录上页下页返回结束半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+drdxzy0圆锥面圆锥面+d球面r+dr元素区域由六个坐标面围成：rsind球面坐标下的体积元素目录上页下页返回结束元素区域由六个坐标面围成：球面坐标下的体积元素半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+ddddsind2rrvrdxzy0rsind.dv目录上页下页返回结束rddrdd如图所示,在球面坐标系中体积元素为dddsind2rrv因此有zyxzyxfddd),,(),,(rF其中)cos,sinsin,cossin(),,(rrrfrFdddsin2rrxyzO(sincos,sinsin,cos)frrrdddsin2rr目录上页下页返回结束球面坐标直角坐标球体zyxzyxfddd),,((,,)Frdddsin2rr0Rπ0dπ20d下面介绍一些区域的球面坐标的描述目录上页下页返回结束球面坐标直角坐标球体zyxzyxfddd),,(dddsin2rr2cos0aπ20dπ20d(,,)Fr目录上页下页返回结束zyxzyxfddd),,((,,)Frdddsin2rr0Rπ40dπ20d球面坐标直角坐标球顶锥体目录上页下页返回结束常见的曲面在球坐标下的方程目录上页下页返回结束次序为:r2.将区域往xoy面上投影，确定平面区域D，4.过原点做射线，穿区域确定r的上下限.1.关系式sincos,sinsin,cos.xryrzr3.对任一，过z轴做半平面，找出角变化最用球面坐标计算三重积分的一般步骤：将的边界曲面、被积函数f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为球面坐标系下形式；由D找出的上下限；大的与的截面，确定的上下限注：当积分区域由球面、锥面或其一部分所围时，选用球面坐标计算较简便。目录上页下页返回结束xyzO例5.计算三重积分解:在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.4π0Rr0π20其中与球面dddsind2rrvRrr04d)22(π515R4π0dsinπ20d4πRr目录上页下页返回结束Oxyza2例6.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos3π16033a)cos1(3π443acos20ar0π200dsinπ20drrvdddsind2M目录上页下页返回结束求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成于是所求立体的体积为此球面的方程为x2y2(za)2a2即x2y2z22az例6.的立体的体积由圆锥面和球面围成,解:采用球面坐标，锥面方程为在球面坐标下球面方程为r2acos,:0,02cos,ra02π.dddsind2rrv2cos20darr33016πcossind3a0sindπ20d033sincos316da)cos1(3443aaOxyza2M目录上页下页返回结束例7.计算三重积分解:在球面坐标系下:22()dddxyxyz所围立体.π202cos2cosarbπ20其中面dddsind2rrv2cos2222cossinsindbarrrπ20dπ20d是由两个球355201sin[(2cos)(2cos)]d5ba2目录上页下页返回结束22()dddxyxyz355201sin[(2cos)(2cos)]d5ba25564()5ba3520sincosd5564()5ba2520(1cos)cosd(cos)5564()5ba2520(cos1)cosdcos5564()5ba86coscos28605564()5ba124558()15ba目录上页下页返回结束2222240(4z4)daaazzz58.15a20daz22()ddZDxyxy20daz2220dazz2π0d224012(2)d4aazzz解:1:02za222:2zDxyazz例7.计算三重积分所围立体.其中面是由两个球122()dddxyxyz原式258()15ba目录上页下页返回结束zOxya4.M.02cosra02