极坐标与球面坐标计算三重积分-极系下的三重积分

一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分§9．5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分柱面坐标、柱面坐标系的坐标面直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素柱面坐标系中的三重积分球面坐标、球面坐标系的坐标面直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素球面坐标系中的三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分设M(x,y,z)为空间内一点，则点M与数r、q、z相对应，其中P(r,q)为点M在xOy面上的投影的极坐标．这里规定r、q、z的变化范围为：0r，0q2，z．xyzOrzP(r,q)M(x,y,z)xyq三个数r、q、z叫做点M的柱面坐标．rr0一、利用柱面坐标计算三重积分坐标面rr0，qq0，zz0的意义：xyzOqq0zz0r0q0z0设M(x,y,z)为空间内一点，则点M与数r、q、z相对应，其中P(r,q)为点M在xOy面上的投影的极坐标．这里规定r、q、z的变化范围为：0r，0q2，z．三个数r、q、z叫做点M的柱面坐标．直角坐标与柱面坐标的关系：柱面坐标系中的体积元素：dvrdrdqdz．.,sin,coszzryrxqq柱面坐标系中的三重积分：f(x，y，z)dxdydzf(rcosq，rsinq，z)rdrdqdz．xyzOrzP(r,q)M(x,y,z)xyqx2y242解闭区域可表示为：r2z4，0r2，0q2．于是zdxdydzdzzrdrdqq202042rzdzrdrdq20204)16(21drrrd2062]618[221rr364．zx2y2或zr24xyzO例1利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz，其中是由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域．例1二、利用球面坐标计算三重积分这样的三个数r、j、q叫做点M的球面坐标．设M(x，y，z)为空间内一点，则点M与数r、j、q相对应，其中r为原点O与点M间的距离，j为有向线段与z轴正向所夹的角，OMq为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角．OP这里r、j、q的变化范围为0r，0j，0q2．xyzOzPM(x,y,z)xyqrj坐标面rr0，jj0，qq0的意义：xyzOrqj点的直角坐标与球面坐标的关系：.cos,sinsin,cossinjqjqjrzryrx球面坐标系中的体积元素：dvr2sinjdrdjdq．f(x，y，z)dxdydzf(rsinjcosq，rsinjsinq，rcosj)r2sinjdrdjdq．柱面坐标系中的三重积分：xyzOzPM(x,y,z)xyqrj例2求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积．xyzOa2a例2求半径为a的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立体的体积．解该立体所占区域可表示为：0r2acosj，0ja，0q2．于是所求立体的体积为Vdxdydzr2sinjdrdjdqajjjq200cos202sinadrrddajjj0cos202sin2adrrdajjj033sincos316daxyzOa2arj)cos1(3443aa．例3求均匀半球体的重心．解取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上，又设球半径为a．axyzOqjr显然，重心在z轴上，故`x`y0．`zdvdvzdvzdv．dvadrrdd022020sinjqjdvzadrrrdd022020sincosjjqj42214a,323a,因此`z83a．重心为(0，0，83a)．因此`z83a．重心为(0，0，83a)．解取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a，例4求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量．则球体所占空间闭区域可用不等式x2y2z2a2来表示．其中M334a为球体的质量．Izdvyx)(22qjjqjqjddrdrrrsin)sinsincossin(2222222qjjddrdr34sindrrddajjq200043sinMa252,所求转动惯量为xyzOa