沪教版九年级同步讲义第18讲：二次函数的解析式的确定-教师版

九年级同步1/33二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式．1、一般式2yaxbxc（0a）（1）任何二次函数都可以整理成一般式2yaxbxc（0a）的形式；（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．二次函数解析式的确定内容分析知识结构模块一：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)知识精讲步同级年九2/33【例1】已知二次函数的图像经过点A（1，5）、B（0，4）和C（1，1）．求这个二次函数的解析式．【难度】★【答案】2234yxx．【解析】设二次函数为2yaxbxc，把A、B、C代入二次函数解析式，可得：541abccabc，解得234abc．所以这个二次函数的解析式：2234yxx．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组．【例2】已知二次函数2yaxbxc图像经过点（0，3）、（3，0）、（2，5）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值．【难度】★★【答案】（1）223yxx；（2）函数有最大值，最大值为4y．【解析】（1）把（0，3）、（3，0）、（2，5）代入二次函数解析式，可得：3930425cabcabc，解得123abc，所以这个二次函数的解析式：223yxx；（2）2223(1)4yxxx，则当1x时，函数有最大值，最大值为4y．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组．例题解析九年级同步3/33【例3】已知抛物线2yaxbxc经过点A（2，3）、B（0，3）、C（4，5）．（1）求该抛物线的解析式；（2）当x为何值时，3y？【难度】★★【答案】（1）223yxx；（2）03x．【解析】（1）把A（2，3）、B（0，3）、C（4，5）代入二次函数解析式，可得：42331645abccabc，解得123abc．所以抛物线的解析式为：223yxx；方法二：也可以利用AB关于直线1x对称，设二次函数解析式为2(1)yaxk求解．（2）利用图像性质可得，当抛物线与直线3y交于点(03)(23)，，，，故03x时，3y．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组以及根据图像求自变量范围．【例4】已知二次函数的图像经过点（0，3）、（3，0）、（2，5），且与x轴交于A、B两点．（1）试确定该二次函数的解析式；（2）判定点P（2，3）是否在这个图像上，并说明理由；（3）求PAB的面积．【难度】★★【答案】（1）223yxx；（2）在；（3）6．【解析】（1）设二次函数为2yaxbxc，把（0，3）、（3，0）、（2，5）代入二次函数解析式，可得：4253930abccabc，解得123abc．所以二次函数的解析式为：223yxx；（2）把2x代入解析式，可得：222233y，所以点P（2，3）在函数图像上．（3）(30)(10)AB，、，，可得144362ABPABS，．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组和简单数形结合三角形面积求解．步同级年九4/331、顶点式：2yaxmk（0a）（1）任何二次函数经过配方都可以整理成2yaxmk（0a）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（m，k）为抛物线的顶点坐标；（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；（3）对于任意的二次函数2yaxbxc，都可以配方为：22424bacbyaxaa的形式．【例5】抛物线22yxbxc的顶点坐标是（1，2），则b=______，c=______．【难度】★【答案】-4；0．【解析】设抛物线解析式为22()yxmk，因为顶点坐标为（1，2），所以12mk，，所以222(1)2240yxxx．故b=-4，c=0．【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．模块二：顶点式y=a(x+m)2+k(a≠0)知识精讲例题解析九年级同步5/33【例6】已知抛物线的顶点坐标为（4，1），与y轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式．【难度】★【答案】21234yxx．【解析】设抛物线解析式为2()yaxmk，因为顶点坐标为（4，1），所以41mk，，所以2(4)1yax，再把（0，3）代入，即得14a．所以抛物线的解析式为：21234yxx．【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．【例7】如果0a，0b，0c，240bac，那么抛物线2yaxbxc经过第__________象限．【难度】★★【答案】一二四．【解析】根据0a，可得开口向上；根据0b，可得对称轴在y轴左侧，根据0c，可得与y轴交于正半轴，由240bac，可得与x轴有两个交点，所以大致图像如下：【总结】考查学生根据顶点式以及系数与0大小关系判断图像．yxO步同级年九6/33【例8】已知二次函数的图像过点（1，5），且当x=2时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式．【难度】★★【答案】22811yxx．【解析】∵当x=2时，函数有最小值3，∴设二次函数解析式为2(2)3yax，把（1，5）代入函数解析式可得2a．∴二次函数的解析式为：22811yxx．【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．【例9】已知二次函数的图像的顶点坐标为A（2，1）且图像与x轴的两个交点为B、C（点B在点C的左侧），若ABC是等腰直角三角形，求这个二次函数的解析式．【难度】★★【答案】243yxx．【解析】过点A作AH⊥BC于点H，可得AH=1，∵ABC是等腰直角三角形，∴BH=AH=CH=1，即得B（1，0），C（3，0）；∵二次函数的图像的顶点坐标为A（2，1），∴设2(2)1yax，把B或C代入可得1a．所以二次函数的解析式为：243yxx．【总结】考查学生利用几何知识求解顶点坐标，再根据顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．yxHCOAB九年级同步7/33【例10】已知抛物线过点（3，2）、（0，5）两点，且以直线x=2为对称轴，求此抛物线的解析式．【难度】★★★【答案】245yxx．【解析】∵函数以直线x=2为对称轴，∴设二次函数解析式为2(2)yaxk，把点（3，2）、（0，5）代入，可得11ak，，∴2(2)1yx．【总结】考查学生利用对称轴，设立顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．步同级年九8/331、交点式12yaxxxx（0a）（1）交点式：12yaxxxx（0a），其中x1，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标；（2）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；（3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为122xxx；（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为122xxx；（5）对于任意二次函数2yaxbxc，当0x时，即20axbxc，根据一元二次方程的求根公式可得：2142bbacxa、2242bbacxa；（6）对称式：12()()yaxxxxk（0a），当抛物线经过点（x1，k）、（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．【例11】已知二次函数的图像经过点（2，0）、（1，0），且与y轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式．【难度】★【答案】233322yxx．【解析】∵二次函数的图像经过点（2，0）、（1，0），∴设二次函数解析式为(2)(1)yaxx，把（0，3）代入，可得32a．∴这个二次函数的解析式为：233322yxx．【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．模块三：交点式y=a(x–x1)(x–x2)(a≠0)知识精讲例题解析九年级同步9/33【例12】已知二次函数2yaxbxc的图像经过点M（1，0）、N（4，0）、P（1，12）三点，求这个二次函数的解析式．【难度】★★【答案】2268yxx．【解析】∵二次函数的图像经过点M（1，0）、N（4，0），∴设二次函数解析式为(1)(4)yaxx，把P（1，12）代入，可得2a．∴这个二次函数的解析式为：2268yxx．【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．【例13】已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0），且函数有最小值5，求二次函数的解析式．【难度】★★【答案】252015yxx．【解析】∵二次函数的图形与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0），∴设二次函数解析式为(1)(3)yaxx，∵（1，0），（3，0）关于直线2x对称，∴函数顶点为(2,5)，∴把(2,5)代入，可得5a．方法二：也可以使用顶点公式2(2)5yax，把（1，0），（3，0）代入．【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．【例14】已知抛物线，当x=3时，抛物线有最高点，最高点的纵坐标为1，且图像与x轴的两个交点之间的距离为2，求这个抛物线的解析式．【难度】★★【答案】268yxx．【解析】∵当x=3时，抛物线最高点的纵坐标为1，∴顶点坐标为(3,1)，又∵图像与x轴的两个交点之间的距离为2，∴与x轴的交点为(2,0)(4,0)，∴设二次函数解析式为(2)(4)yaxx，∴把(3,1)代入，可得1a．方法二：也可设顶点式．【总结】考查学生如何求出与x轴交点坐标，然后利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．步同级年九10/33【例15】抛物线2yaxbxc经过（0，3）、（12，3），其顶点的纵坐标为6，求这个抛物线的解析式．【难度】★★【答案】21312yxx．【解析】∵抛物线2yaxbxc经过（0，3）、（12，3），∴对称轴为直线6x，∵顶点的纵坐标为6，∴顶点坐标为(6,6)，∴设二次函数解析式为2(6)6yax，∴把（0，3）代入，可得112a．所以抛物线的解析式为：21312yxx．方法二：也可把解析式设成(0)(12)3yaxx的形式再求解．【总结】考查学生根据交点式的特点，利用平移的特点设交点式求解二次函数解析式，以及解方程．【例16】已知二次函数的图像与x轴交于点A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且10ABCS，求二次函数的解析式．【难度】★★★【答案】234yxx；234yxx．【解析】∵A（1，0）、B（4，0），1102ABCSABOC；∴54ABOC，；∵与x轴的交点为(10)，、(40)，，∴设二次函数解析式为(1)(4)yaxx，∴分别把(04)C，代入可得1a，把(04)C，代入可得1a．∴二次函数的解析式为234yxx；234yxx．【总结】考查学生