外心、内心与重心

三角形的外心、内心与重心外心OIG内心重心三角形的外心1.三角形垂直平分线之交点2.三种三角形(直角、钝角、锐角)，其外心的位置不同3.三角形外心至三顶点等距离，即为外接圆半径4.外心为外接圆圆心外心的位置钝角Δ直角Δ锐角ΔOOO钝角Δ外心在外部直角Δ外心在斜边中点锐角Δ外心在内部外心O到三角形的三顶点距离相等=R(外接圆半径)OOOACBCBC三角形的内心1.三角形三内角平分线的交点2.在三角形的内部3.到三边垂直距离相等(即内切圆的半径)4.内切圆的圆心II是三角形ABC的内心则BIC=90º+½AIBCBI是ABC的分角线CI是ACB的分角线1=23=41234BIC=180º-2-4=180º-21ABC-21=180º-21=180º-21=180º-90º+21A=90º+21AI是三角形ABC的内心，r为内切圆半径ΔABI面积:ΔBCI面积:ΔCAI面积AB::BCCA=ACI是ΔABC的内心BCCA分别交ABDEFIFIEID:21ID21IE=ABBC:21IFCAAB::BCCA=I三角形的重心1.三角形三边的中线之交点2.重心到顶点的距离等于此点到对边中点距离的两倍3.三角形三条中线将三角形面积六等份重心到顶点的距离等于此点到对边中点距离的两倍。即1:2:2GDAGGDGAFEBCDFEF、E分别为ABAC的中点BCFE//GCBGFE(AA相似)且BCFE211:2:::GEGBFEBCGFGC同理，GCAGFD(AA相似)1:2:::GDGAFDACGFGCG12:GF:GCGE:GBGD:GAA[证明]连接三角形重心将面积三等分[证明]ABCGDFEADBECFCDBDADB面积=ADC面积且BGD面积=CGD面积ADB面积-BGD面积=ADC面积-CGD面积AGB面积=CGA面积同理，AGB面积=BGC面积AGB面积=BGC面积=CGA面积=ABC面积31为三中线CGDFEG三角形三中线将面积六等分ABCGDFEBGD面积=CGD面积=BGC面积同理，CGE面积=AGE面积21=()2131ABC面积=61ABC面积=61ABC面积同理，AGF面积=BGF面积=61ABC面积GFE