信号与系统第七章-离散时间系统的时域分析

离散时间系统的时域分析本章要点取样信号与取样定理离散时间系统的描述和模拟常系数线性差分方程的求解离散时间系统与连续时域分析法的比较第七章离散时间系统的时域分析7.1引言)(kX)(kY激励是离散时间信号响应是离散时间信号离散系统连续系统模拟卷积定理连续傅立叶变换拉氏变换卷积积分微分方程连续时间系统离散系统模拟卷积定理离散傅立叶变换变换卷积和差分方程离散时间系统Z离散时间信号的定义离散时间信号可以从两个方面来定义：–仅在一些离散时刻k(k=0,±1,±2,…)上才有定义(确定的函数值)的信号称为离散时间信号，简称离散信号，用f(k)表示。–连续时间信号经过抽样（即离散化）后所得到的抽样信号通常也称为离散信号，用f(kT)表示，T为抽样周期。f(kT)一般简写为f(k)。k)(kfk)(kTf、常用序列介绍1(1)()k单位函数定义：0001kk)(kk1012)(ikk1i012)(k、单位阶跃序列20001kk)(k01231k)2(k01231k45单位(冲激)函数的主要性质•筛选特性：•加权特性：•(k)与(k)的关系：knfnkkf)()()()()()()(nknfnkkf因此，可以将任意离散信号表示为一系列延时单位函数的加权和，即)2()2()1()1()()0()1()1()2()2()(kfkfkfkfkfkfnnknf)()(knnk)()(0)()(iikk或)1()()(kkk)()(kakxk、单边指数序列3k)(kx0123kkxsin)(、正弦序列4824—正弦序列的角频率—012345678k)(kx正弦序列的周期•周期序列的定义：f(k+N)=f(k)式中：N为序列的周期，只能为任意整数。•周期N的计算方法：–与模拟正弦信号不同，离散正弦序列是否为周期函数取决于比值2/0是正整数、有理数还是无理数。–是正整数时，则周期为N。因为：02NkAkANkA0000sin)]2(sin[)](sin[–是有理数时，则周期为02Nm02Nm–为无理数时，正弦序列就不再是周期序列。但包络线仍是正弦函数。02注意：并非所有正弦波都是周期序列离散时间序列是____(A.周期信号；B.非周期信号)。若是周期信号，则周期N＝______。kBkAkf3cos5sin)(如果包含有n个不同频率正弦分量的复合信号是一个周期为N的周期信号，则其周期N必为各分量信号周期Ni的整倍数。如有2个分量，即N=m1N1=m2N2,mi为正整数.21212211,22,2mmmmNii221122mmN则周期为：2121:5:33:5:mm对本题：则周期为：30523211mNA30离散时间序列是____(A.周期信号；B.非周期信号)。若是周期信号，则周期N＝______。kBkAkf3cos61sin)(2121:6:33:61:mmBm1=3,m2=6。可见不是正整数。故此信号是非周期信号。序列的运算和变换)}()({nynxyx)}()({nynxyx•序列和•序列积•序列的折叠、尺度变换与位移：与连续信号相同2)(kkx•序列的能量k)(kx321012k)(kx321012k)(kx321012k)(1kx321012k(1)xk32101234序列反转序列平移右移左移已知离散信号f(k)=(k+2)[(k+2)-(k-3)],求:f(k+1)+f(-k+1)=？)(kfk0121424)1(kfk012124)1(kfk012126k012121f(k+1)+f(-k+1)=(k+2)+6(k+1)+6(k)+6(k-1)+(k-2)已知离散信号f(k)=(k+2)[(k+2)-(k-4)],试画出f(k)，f(k-3)，f(-k)，f(-k-3)的图形。)(kfk01215235)3(kfk0121236)(kfk0121523)3--(kfk01215236主要讨论线性时不变系统。线性系统：if)()(11kkye)()()()(22112211kkkkycycececthen)(2)(2kkye线性时不变离散系统时不变系统)()(kkye)()(ikyikeIfthen由线性常系数差分方程描述的线性时不变（LTI）系统为)()1()()()1()(101MkfBkfBkfBNkyAkyAkyMN•所有的项都包括了y(k)或f(k)。所有的系数都是常数（而不是y(k)、f(k)或k的函数）。•下列因素导致系统差分方程是非线性或时变的：–若有任何一项是常数或是y(k)或f(k)的非线性函数，则它是非线性的。–若y(k)或f(k)中的任何一项的系数是k的函数，则它是时变的。若当k0时激励f(k)=0，则当k0时响应y(k)=0。因果性也就是说，如果响应y(k)并不依赖于将来的激励[如f(k+1)]，那么系统就是因果的。造成系统差分方程为非因果的因素：若最小延迟输出项是y(k)且有一输入项为f(k+M)的形式(M0),那么它就是非因果的。如：)()1(2)(kfkyky)1()1(2)(kfkyky)1()()1(kfkyky)2()()1(kfkyky是因果的是非因果的判断离散系统类型举例•设f(k)和y(k)分别表示离散时间系统的输入和输出序列，分析以下系统的线性、时不变、因果性。)()(12)2(32kfkykkyk解：(1)系统是线性的、时变的(系数是k的函数)、因果的系统。(2)系统是非线性的(含有常数项)、时不变的、因果的系统。)1()2()(4)(kfkykyky(1)(2)3)(2)(kfky(3)(3)系统是非线性的(系数含有y(k))、时变的(含y(2k))、非因果的系统。•连续信号的数字化)(tft0)(tfs0Tst7.2取样信号与取样定理)(tf连续信号抽样抽样信号数字信号量化编码抽样脉冲)(tp)(tp)(tfs)(tfs)(tf)(tf)(tfs)(tP电子开关问题：1是否保留了原信号的全部信息？2在什么条件下，可以中无失真地恢复出原连续信号？)(tfs)(tfs)(tf)(tf)(tp0Tt当时0nsTnTtttp)()()()()()()(tptftftfss的数学模型)(Fm0m1)(tf0t)(tfsTs2Ts2STTs0t)(SF0mTs1s)(Tss)(s0()ptTs2Ts2STTs0t由频域卷积定理)(SF0mTs1ssmm01)(G)(tfs0t)(tgm1m10t)]()([)()(ttftgtfTs1mwmw1w)(F)]()()[()()]()([)()(TsTsssFGGFTGFT121由时域卷积定理时域抽样定理：一个频谱受限的信号，如果频谱只占据的范围，则信号可以用等间隔的抽样值唯一的表示。而抽样间隔必须不大于或者说，最低抽样频率为。最低抽样频率称为“奈奎斯特频率”。)(tfmm~)(tfmf21mmf2mffs2（其中)mf2抽样间隔mf21称为“奈奎斯特取样间隔”tf1KHzB3tf1tf2tf21tf2Sf一话音信号的频带宽度，对进行尺度变换得到另一信号则其频宽为，的奈奎斯特抽样频率。6KHz12KHz已知信号为220ftSat，则该信号的最低抽样频率为。40离散时间系统线性非线性时不变时变7.3离散时间系统的描述和模拟最常用的是“线性、时不变系统“例：一质点沿水平作直线运动，它在某一秒内所走的距离等于前一秒内所走距离的2倍，试列出描述该质点行程的方程。yk()yk()1yk()2一离散时间系统的数学模型——差分方程1.离散时间系统描述解：行程是离散变量k的函数。y(k)表示质点在第k秒末的行程，y(k＋1)表示第k+1秒末的行程，依题意，有)]()1([2)1()2(kykykyky0)(2)1(3)2(＝＋或kykyky例：梯形网络如图。列写节点k的方程。...v()0vn()1vn()...＋－RRRv()1v()2RRRRRRvk()1vk()RRRvk()1解：第k个节点如图。vkvkRvkvkRvkR()()()()()11整理，得(1)(21)()(1)0vkvkvkEvk()2vk()RRRvk()1如果假设的第k个节点改变为如下图。vkvkRvkvkRvkR()()()()()1121整理，得(2)(21)(1)()0vkvkvk方程为：显然，上述例子k并不表示时间；且，k值同时增加或减少同一值时系统不变。vEvn(),()00初始值未变：•离散系统的差分方程为y(k+3)=-3y(k+2)+4y(k),若已知y(0)=1,y(2)=0,y(5)=12,则y(1)=_____。2令k=0：差分方程为y(3)=-3y(2)+4y(0)=4,令k=1：差分方程为y(4)=-3y(3)+4y(1)=-12+4y(1),令k=2：差分方程为y(5)=-3y(4)+4y(2)=-3y(4),12=-3y(4),y(4)=-4,由k=1：4y(1)=12+y(4)=8,故y(1)=22.离散时间系统数学模型线性时不变系统(线性移不变系统)为常系数线性差分方程：微分方程),(),()(tftftf及其导数差分方程)k(f),k(f)k(f2前向差分)k(f),k(f2或后向差分)()1()1()(011kyakyankyankyann)()1()1()(011kxbkxbmkxbmkxbmm各序列的序号自k以递增方式给出，称前向差分方程(或称：左移序差分方程)；简写为aykibxkjiinjjm()()00一种形式另一种形式)()1()1()(011kyakyankyankyann)()1()1()(011kxbkxbmkxbmkxbmm各序列的序号自k以递减方式给出，称后向差分方程(或称：右移序差分方程)；简写为aykibxkjiinjjm()()00说明：)()1()(3)1(3)2(kxkxkykyky)2()1()2(2)1(3)(kxkxkykyky3.要求解差分方程，须有n个独立的初始条件。1.差分方程的阶数：输出最高阶与最低阶之差。2.前向与后向差分方程是可以转换的。并无区别。•求图示RC低通网络的响应所满足的差分方程)(nxT2T0t)(nTy0TtT3T2T4)(nTx)(nTyRc3.差分方程与微分方程的关系)()()(txtydttdyRC当T足够小时，TnTyTnydttdy)(])[()(1)()()(])[(nTxnTyTnTyTnyRC1)()()()(nxnyTnynyRC1)()()()(nxRCTnyRCTny11利用计算机来求解微分方程就是根据这一原理来实现的)()()()(nynTynxnTx简写简写)(kx)1(kxD（a）单位延时)(kx)(kaxa)(kx)()(kykx)(ky（b）相加a)(kx)(kax)(kxa)(kax（c