学科素养微专题(数学文化与数列)

高考总复习第（1）轮文科数学学科素养微专题数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结数学文化与数列数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结1．《九章算术》《九章算术》大约成书于公元一世纪，是中国古代第一部数学著作，是“算经十书”中最重要的一种．《九章算术》共收有246个与生产实践有联系的应用题，包括问、答和求三部分，并配有插图，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股等九章．《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则．数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结2．《算法统宗》《算法统宗》是由明代数学家程大位(公元1533—公元1606年)经过数十年的努力，于公元1592年60岁时写成的数学巨著．《算法统宗》是一部应用数学书，以珠算为主要的计算工具，共17卷，有595个应用题．注：中华文明源远流长，发展进程波澜壮阔，中国古代为世界数学做出了杰出的贡献．为了弘扬中华优秀传统文化，特在[数学经典简介]这一栏目中，简单介绍一些数学名著或数学家．数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结【例1】(2018·合肥市二检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言．”题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结思路分析：读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，本题相当于等差数列{an}中，前n项和S8＝996，公差d＝17，求a8.解：设8个儿子从大至小分得的绵构成的数列是{an}，设大儿子分到的绵是x斤，依题意知8个儿子分到的绵构成以a1＝x为首项，d＝17为公差的等差数列，记其前n项和为Sn，则有Sn＝8x＋8×72×17＝996，即8x＋476＝996，解得x＝65.故第8个儿子分到的绵a8＝65＋7×17＝65＋119＝184(斤)．答案：B数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结试题赏析：从中国古代文学作品中选取素材考查数学问题，丰富了数学文化题的取材途径．本题不仅考查了等差数列的通项公式、前n项和公式的基本知识，同时，也考查了将古代实际问题转化为现代数学问题的能力，考查了学生的应用意识，同时也能让学生认识到中华民族优秀文化的源远流长和博大精深，增强民族自信心.数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结【例２】我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根5尺长的金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上面的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结思路分析：首先要转化为数列问题，由“金杖由粗到细是均匀变化的”可知各尺的重量构成一个等差数列，然后根据等差数列的知识进行求解．解：依题意，金杖由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，记为{an}，则a1＝4，a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝2a3＝6，所以a3＝3，所以中间3尺的重量为a2＋a3＋a4＝3a3＝9(斤)．故选B.答案：B数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结试题赏析：《九章算术》是中国古代数学专著，成书于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学．《九章算术》在数学上有其独到的成就，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．本题以《九章算术》中的“金箠”问题为背景，既考查了学生将实际问题转化为数列问题的能力，又弘扬了传统文化..数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结【例３】中国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A．192里B．96里C．48里D．24里数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结思路分析：读懂题意，将古代实际问题转化为现代数学问题，本题相当于：已知等比数列{an}中，公比q＝12，前6项和S6＝378，求a2.解：依题意，每天走的路程构成等比数列{an}，且n＝6，公比q＝12，S6＝378，设等比数列{an}的首项为a1，依题意有a11－1261－12＝378，解得a1＝192.所以a2＝192×12＝96.即第二天走了96里．答案：B数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结试题赏析：与等差数列一样，我国古代数学涉及等比数列问题也有很多，因此，涉及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中．解决此类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等比数列的概念、通项公式和前n项和的公式求解.数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结【例４】朱载堉(1536－1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2，则f2f1＝()A.32B.1116C．4123D.82数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结思路分析：由“一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等”可知13个音的频率构成的数列是等比数列，因此可利用等比数列的知识求解．解：设13个音的频率所成的等比数列{an}的公比为q，则依题意，有a13＝a1·q12＝2a1，所以q＝1122，所以f2f1＝a7a3＝q4＝132＝32.答案：A数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结试题赏析：本题以《律学新说》中的“十二平均律”为背景，考查等比数列的应用，既考查了等比数列的相关知识，又展示了我国古代在音乐、数学、天文等方面的成就．“十二平均律”在2018年北京卷中进行了考查.数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结【例5】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的数列：1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：从第3个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则a21＋a22＋a23＋…＋a22019a2019是斐波那契数列中的第________项．数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结思路分析：本题先根据题意明确该数列的递推公式，再依据所给式子的特点把递推公式恰当变形，得出和式a21＋a22＋a23＋…＋a22019的通项，再求和得到结论；也可从特例出发，归纳发现规律，得到结论．数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结解：(方法一：分析分子和式的通项，求和化简)依题意得a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，an＋1·an＋2＝a2n＋1＋an·an＋1，所以a2n＋1＝an＋1·an＋2－an·an＋1，则a22019＝a2019a2020－a2018a2019，a22018＝a2018a2019－a2017a2018，a22017＝a2017a2018－a2016a2017，……a22＝a2a3－a1a2，又a21＝a1a2，因此a22019＋a22018＋a22017＋…＋a22＋a21＝a2020a2019，即a21＋a22＋a23＋…＋a22019a2019＝a2020，故a21＋a22＋a23＋…＋a22019a2019是斐波那契数列中的第2020项．数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结(方法二：归纳法)a21＋a22a2＝12＋121＝2＝a3，a21＋a22＋a23a3＝12＋12＋222＝3＝a4，a21＋a22＋a23＋a24a4＝12＋12＋22＋323＝5＝a5，猜测a21＋a22＋…＋a2nan＝an＋1.由此可知，a21＋a22＋…＋a22019a2019＝a2020.数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结试题赏析：该题的命制以人民教育出版社《数学必修5》A版第32页“阅读与思考”中的“斐波那契数列”为背景，考查学生灵活处理递推数列问题的能力、转化与化归能力以及归纳、猜想、论证的能力．通过论证，实际上得到了斐波那契数列的一个有趣的性质．斐波那契数列有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛应用．在高考中曾很多次出现考查斐波那契数列的试题.数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结【例6】宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵(同垛)之．问底子(每层三角形茭草束数，等价于层数)几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数)，则本问题中三角垛底层茭草总束数为________．数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结思路分析：阅读理解，将其转化为数列问题．本题实质是一个数列求和问题，为此要分析通项的特点，根据通项特点选择求和方法．解：设自上而下每一层茭草束数构造的数列为{an}，则a1＝1，a2＝1＋2，a3＝1＋2＋3，…，所以an＝1＋2＋…＋n＝n（n＋1）2＝12(n2＋n)，数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结所以Sn＝1＋3＋6＋…＋12(n2＋n)＝12[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋…＋n)]＝12[16n(n＋1)(2n＋1)＋12n(n＋1)]＝16n(n＋1)(n＋2)．由条件16n(n＋1)(n＋2)＝680，即有n(n＋1)(n＋2)＝15×16×17＝680×6，所以n＝15，所以a15＝15（15＋1）2＝120.即三角垛底层茭草总束数为120.数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结试题赏析：《四元玉鉴》成书于1303年，由我国元代数学家朱世杰所著．全书共3卷，24门，288问，主要论述高次方程组的解法、高阶等差级数求和以及高次内插法等内容．本题以《四元玉鉴》中的“茭草形段”为载体考查数列的求和．考查了学生阅读理解、观察归纳及化归转化等能力，展示了我国古代数学的辉煌成就.数学经典简介典型例题赏析要点归纳小结1．数列是中国古代数学研究成果非常丰富的内容之一.2017年全国卷Ⅱ理数以古代数学名著《算法统宗》中的灯塔上灯的数量为背景、2018年北京卷以“十二平均律”为背景，考查了等比数列的相关知识．2．数列中的数学文化非常丰富，命题的资源也非常广泛，既可从中国古代数学名著，如《九章算术》《算法统宗》《律学新说》等及世界数学名著中挖掘素材，也可从古代诗歌、传说中进行提炼．3．求解数学文化与数列结合的问题，关键是读懂题意，将古代实际问题转化为数列问题，再根据数列问题的特点进行研究．