集合的表示(附答案)

1集合的表示[学习目标]1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.知识点集合的表示方法1.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.2.描述法：(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.思考(1)由方程(x－1)(x＋2)＝0的实数根组成的集合，怎样表示较好？(2)集合{x|4x5}可以用列举法表示吗？(3)列举法可以表示无限集吗？答(1)列举法表示为{－2,1}，描述法表示为{x|(x－1)(x＋2)＝0}，列举法较好.(2)不能，因为这个集合中的元素不能够一一列举出来.(3)列举法可以表示有限集，也可以表示无限集.若集合中元素个数较多或无限多，但呈现出一定的规律性，在不致发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他的元素用省略号表示.例如正偶数集合可以表示为{2,4,6,8，…}.题型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.2跟踪训练1用列举法表示下列集合：(1)绝对值小于5的偶数；(2)24与36的公约数；(3)方程组x＋y＝2，2x－y＝1的解集.解(1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集.(2){1,2,3,4,6,12}，是有限集.(3)由x＋y＝2，2x－y＝1，得x＝1，y＝1.∴方程组x＋y＝2，2x－y＝1的解集为{(x，y)|x＋y＝2，2x－y＝1}＝{(x，y)|x＝1，y＝1}＝{(1,1)}，是有限集.题型二用描述法表示集合例2用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}.(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.跟踪训练2用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合.解本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言.用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x，y)|－1≤x≤32，－12≤y≤1，且xy≥0}.题型三列举法与描述法的综合运用例3集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法3表示集合A.解(1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}.(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根.则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}.综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}.跟踪训练3把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合.解由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根.∴k≠0，Δ＝64－64k＞0，解得k＜1，且k≠0.∴k取值范围的集合为{k|k＜1，且k≠0}.弄错数集与点集致误例4方程组x＋y＝3，x－y＝－1的解的集合是____________.错解方程组的解是x＝1，y＝2，所以方程组的解可用列举法表示为{1,2}.正解方程组的解是x＝1，y＝2，它是一组数对(1,2)，所以方程组的解可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x，y)|x＝1，y＝2}.易错警示错误原因纠错心得集合{1,2}中是两个元素，表示的是两个数，而方程组的解应为数对(1,2)，表示的是直角坐标平面上的点.表示集合时，要弄清元素具有的形式(即代表元素是什么)是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.4跟踪训练4用列举法表示下列集合.(1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；(2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}.解(1)因为y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，所以x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意，所以A＝{2,5,6}.(2)(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则应有x＝0，y＝6，x＝1，y＝5，x＝2，y＝2，所以B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}.1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A.{1,1}B.{1}C.{x＝1}D.{x2－2x＋1＝0}2.下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的是()A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k5}C.{x|x＝4t－3，t∈N，且t5}D.{x|x＝4s－3，s∈N*，且s6}3.给出下列说法：①任意一个集合的正确表示方法是唯一的；②集合P＝{x|0≤x≤1}是无限集；③集合{x|x∈N*，x5}＝{0,1,2,3,4}；④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合.其中正确说法的序号是()A.①②B.②③C.②D.①③④4.方程x＋y＝2，x－y＝5的解集用列举法表示为_________________________________；用描述法表示为________________.5.若集合A＝{－1,2}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则a＋b的值为________.5一、选择题1.下列集合中，不同于另外三个集合的是()A.{0}B.{y|y2＝0}C.{x|x＝0}D.{x＝0}2.方程组x＋y＝2，x－2y＝－1的解集是()A.{x＝1，y＝1}B.{1}C.{(1,1)}D.(1,1)3.集合{x|－32x－1≤3，x∈Z}等于()A.{1,2}B.{0,1,2}C.{－1,0,1,2}D.{0,1}4.集合{1,3,5,7,9，…}用描述法可表示为()A.{x|x＝2n±1，n∈Z}B.{x|x＝2n＋1，n∈Z}C.{x|x＝2n＋1，n∈N*}D.{x|x＝2n＋1，n∈N}5.设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为()A.3B.4C.5D.66.给出下列说法：①实数集可以表示为{R}；②方程2x－1＋|2y＋1|＝0的解集是{－12，12}；③方程组x＋y＝3，x－y＝－1的解集是{(x，y)|x＝1，y＝2}；④集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}与集合N＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}表示同一个集合.其中说法正确的个数为()A.0B.1C.2D.3二、填空题7.用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝________.8.将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为_________________________.9.集合{1，x，x2－x}中元素x应满足的条件为________.610.若集合A＝{－2,2,3,4}，集合B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝_______.三、解答题11.用适当的方法表示下列集合.(1)16与24的公约数；(2)不等式3x－50的解构成的集合.12.若集合A＝{0,1，－1,2，－2,3}，集合B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，求集合B.13.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}.(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.7当堂检测答案1.答案B解析集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}.故选B.2.答案D解析分析1,5,9,13,17的特征.3.答案C解析对于某些集合(如小于10的自然数组成的集合)可以用列举法表示，也可以用描述法表示，表示方法不唯一，故说法①不正确；集合P＝{x|0≤x≤1}的元素有无限个，是无限集，故说法②正确；由于{x|x∈N*，x5}＝{1,2,3,4}，故说法③不正确；集合{(1,2)}与集合{(2,1)}的元素不同，故两集合不是同一集合，故说法④不正确.综上可知，正确的说法是②.4.答案{(72，－32)}{(x，y)|x＝72，y＝－32}5.答案－3解析由题意知－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根.则1－a＋b＝0，4＋2a＋b＝0，解得a＝－1，b＝－2.所以a＋b＝－3.课时精练答案一、选择题1.答案D解析A是列举法，C是描述法，对于B要注意集合的代表元素是y，故与A，C相同，而D表示该集合含有一个元素，即方程“x＝0”.故选D.2.答案C解析方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D不是集合的形式，排除D.3.答案B解析{x|－32x－1≤3，x∈Z}＝{x|－22x≤4，x∈Z}＝{x|－1x≤2，x∈Z}＝{0,1,2}，故8选B.4.答案D5.答案B解析当a＝1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b＝5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8.由集合元素的互异性知M中共有4个元素.6.答案B解析实数集就是R，所以①错误；方程2x－1＋|2y＋1|＝0的解为x＝12，y＝－12，用集合表示为{(x，y)|x＝12，y＝－12}，所以②错误；方程组x＋y＝3，x－y＝－1的解为x＝1，y＝2，用集合表示为{(x，y)|x＝1，y＝2}，所以③正确；y＝x2＋1≥1，集合M表示大于等于1的实数集合，N中的元素(x，y)表示抛物线y＝x2＋1上的点，它们不是同一个集合，所以④错误.故选B.二、填空题7.答案{5,4,2，－2}解析因为x∈Z，86－x∈N，所以6－x＝1,2,4,8.此时x＝5,4,2，－2，即A＝{5,4,2，－2}.8.答案{(2,4)，(5,2)，(8,0)}9.答案x≠0且x≠1且x≠2且x≠1－52且x≠1＋52解析集合中元素要互异，因此x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0且x≠1且x≠2且x≠1－52且x≠1＋52.10.答案{4,9,16}解析当t＝－2,2,3,4时，x＝4,4,9,16，故集合B＝{4,9,16}.三、解答题11.解(1)16与24的公约数组成的集合为{1,2,4,8}.(2)不等式3x－50的解集为{x|3x－50}或{x|x53}.12.解当x＝0时，y＝－1；当x＝±1时，y＝0；9当x＝±2时，y＝3；当x＝3时，y＝8.所以集合B＝{－1,0,3,8}.13.解(1)当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝23，符合题意.当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a＝0，得a＝98.所以当a＝0或a＝98时，集合A中只有一个元素.(2)由题意得，当a≠0，Δ＝9－8a0，即a98且a≠0时方程有两个实根，又由(1)知，当