专训3-应用三角函数解决实际问题中的四种常见类型

专训3应用三角函数解决实际问题中的四种常见类型名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方位角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．定位问题1．某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC(3取1.73，结果保留整数)．(第1题)坡坝问题2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20m．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度(结果精确到1m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．【导学号：83182082】(第2题)测距问题3．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的距离是30km，B，C间的距离是60km，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离(结果保留根号)．测高问题4．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ的度数；(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m．备用数据：3≈1.7，2≈1.4)．(第4题)答案1．解：根据题意可知AB＝300m.如图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.在Rt△ADB中，因为∠BAD＝30°，所以BD＝12AB＝12×300＝150(m)．在Rt△CDB中，因为sin∠DCB＝BDBC，所以BC＝BDsin∠DCB＝150sin60°＝3003≈173(m)．(第1题)即此时游轮与望海楼之间的距离BC约为173m.点拨：本题也可过C作CD⊥AB于点D，由已知得BC＝AC，AD＝12AB＝150m，所以在Rt△ACD中，AC＝ADcos30°＝15032≈173(m)．所以BC＝AC≈173m.2．解：在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝45°，BE＝20m，∴AE＝20m.在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，∠F＝30°，BE＝20m，∴EF＝BEtan30°＝2033＝203(m)．∴AF＝EF－AE＝203－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(m)．即AF的长度约是15m.3．解：分两种情况：情况一：如图①，在Rt△BDC中，CD＝30km，BC＝60km.∴sinB＝CDBC＝12.∴∠B＝30°.∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°，∴DP＝CDtan∠CPD＝30tan60°＝103(km)．在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，∴AD＝DC＝30km.∴AP＝AD＋DP＝(30＋103)km.(第3题)情况二：如图②，可求得DP＝103km，AD＝30km.∴AP＝AD－DP＝(30－103)km.故交叉口P到加油站A的距离为(30±103)km.点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P点的位置分两种情况讨论，即P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上．4．解：如图，延长PQ交直线AB于点E.(1)∠BPQ＝90°－60°＝30°.(2)设PE＝xm.在Rt△APE中，∠A＝45°，则AE＝PE＝xm.在Rt△BPE中，BE＝PE·tan∠BPE＝x·tan30°＝33x(m)．∵AB＝AE－BE＝6(m)，∴x－33x＝6.解得x＝9＋33.∴PE＝(9＋33)m，BE＝33x＝(33＋3)(m)．在Rt△BEQ中，QE＝BE·tan∠QBE＝(33＋3)·tan30°＝(3＋3)(m)．∴PQ＝PE－QE＝9＋33－(3＋3)＝6＋23≈9(m)．∴该电线杆PQ的高度约为9m.(第4题)六、词语点将（据意写词）。1．看望；访问。（）2．互相商量解决彼此间相关的问题。（）3．竭力保持庄重。（）4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。（）5．弯弯曲曲地延伸的样子。（）七、对号入座（选词填空）。冷静寂静幽静恬静安静１．蒙娜丽莎脸上流露出（）的微笑。2．贝多芬在一条（）的小路上散步。3．同学们（）地坐在教室里。4．四周一片（），听不到一点声响。5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（）。八、句子工厂。1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？（陈述句）___________________________________________________________________________2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文化宝库中一颗璀璨的明珠。（缩写句子）___________________________________________________________________________3．我在她面前只停留了短短的几分钟。她已经成了我灵魂的一部分。（用关联词连成一句话）________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她的人。“把”字句：_________________________________________________________________“被”字句：_________________________________________________________________九、要点梳理（课文回放）。作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了《蒙娜丽莎》画像，具体介绍了__________，__________，特别详细描写了蒙娜丽莎的__________和__________，以及她__________、__________和__________；最后用精炼而饱含激情的语言告诉大家，蒙娜丽莎给人带来了心灵的震撼，留下了永不磨灭的印象。综合能力日日新十、理解感悟。（一）蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（）的嘴角，好像有话要跟你说。在那极富个性的嘴角和眼神里，悄然流露出恬静、淡雅的微笑。那微笑，有时让人觉得舒畅温柔，有时让人觉得略含哀伤，有时让人觉得十分亲切，有时又让人觉得有几分矜（）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是那样耐人寻味，难以捉摸。达·芬奇凭着他的天才想象为和他那神奇的画笔，使蒙娜丽莎转瞬即逝的面部表情，成了永恒的美的象征。