数列求和与求通项公式方法总结(已打)

-1-一、公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：nS=（2）等比数列的求和公式nS例1.求和（1）1+2+3+…+n（2）232222n二、分组求和法：若一个数列由两个特殊数列相加减而得到，则分别对两个特殊数列求和之后相加减得到该数列的和。例2.求和（1）nSnn2322212321；（2）13421nnan，求nS；（3）123nna，求nS三、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：（1）111)1(1nnnn(2)1111()(2)22nnnn(3))121121(21)12)(12(1nnnn（4）nnnn111例3.（1）已知数列11nnaann中，，求前nSn项和.（2）已知数列2(21)(21)nnaann中，，求前nSn项和.（3）求数列,11,,321,211nn的前n项和.-2-四、错位相减法：如果一个数是由一个等差数列和一个等比数列相乘得到，则使用这种方法。例4.（1）2nnan，求nS。nnnS2)12(...252321232、求和：（3）求数列13231,,35,34,33,2nn的前nSn项和.五、课后练习1、（2012惠州一模）已知数列{}na的前n项和nS满足21nnSa，等差数列{}nb满足11ba，43bS。（1）求数列{}na、{}nb的通项公式；（2）设11nnncbb，数列{}nc的前n项和为nT，问nT10012012的最小正整数n是多少?-3-2、（2012广州一模）已知等差数列na的公差0d，它的前n项和为nS，若570S，且2a，7a，22a成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设数列1nS的前n项和为nT，求证：1368nT≤．3、（2012惠州三模）已知函数2()logfxx，且数列)(naf是首项为2，公差为2的等差数列.(1)求证：数列na是等比数列；(2)设)(nnnafab，求数列nb的前n项和nS的最小值..4、（2013惠州二模）已知等差数列na的公差大于0,且53,aa是方程045142xx的两根,数列nb的前n项的和为nS，且*1()2nnbSnN．（1）求数列na，nb的通项公式；（2）记nnnbac,求证：nncc1；（3）求数列nc的前n项和nT．-4-求通项公式一、定义法（1）等差数列：1nnaad；（2）等比数列：1nnaqa。例1：若11a，求通项公式na。（1）12nnaa（2）12nnaa练习：（1）12nnaa（2）12nnaa二、累加法：1nnaafn例2：若11a，求通项公式na。（1）11nnaan（2）12nnnaa练习：（1）12nnaan（2）13nnnaan三、累乘法：1nnafna例3：若11a，求通项公式na。（1）12nnnaa（2）1)1(nnanna练习：（1）13nnnaa（2）1(2)nnnana四、固定结构结构一：例4：（1）数列}{na满足2112313333nnnaaaa*()nN，求na。-5-（2）数列}{na满足2123naaaan，则求na。结构二：1nnaCaD解法分析：例5：若11a，求通项公式na。（1）121(2)nnaan（2）134(2)nnaan练习：（1）122(2)nnaan（2）132(2)nnaan结构三：1nnnCaaDaE解法分析：例6：若11a，求通项公式na。（1）11nnnaaa（2）123nnnaaa（3）（2011年广东高考改）数列na满足11a,112(2)1nnnnaanan≥，求通项公式na。结构四：21nnnaCaDa解法分析：例7：（1）已知数列}{na满足*12211,4,43().nnnaaaaanN（1）求34,aa的值；（2）求数列}{na的通项公式。-6-（2）（2008年广东高考改）设数列na满足121,2aa，12123nnnaaa(3,4)n。（1）求数列na的通项公式；(2)记nncna(1,2,)n，求数列nc的前n项和nS。数列练习题（近三年各地高考题选编）一、填空题1、在等差数列}{na中,5,142aa,则}{na的前5项和5S=。2、等差数列na中,15410,7aaa,则数列na的公差为。3、在等差数列na中,已知48aa=16,则210aa。4、如果等差数列na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+•••…+7a=。5、{}na为等差数列,nS为其前n项和.若112a,23Sa,则2a________.6、．设nS为等差数列{}na的前n项和，若11a，公差为22,24kkdSS，则k=7、na为等差数列，nS为其前n项和，若32016,20,aS则10S的值为_______。8、{na}为等差数列，公差d=-2，nS为其前n项和，若1011SS，则1a=。9、Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________．10、在等差数列na中，22a，3104,aa则＝。11、已知等比数列{}na中，各项都是正数，且1a，321,22aa成等差数列，则91078aaaa12、已知na为等比数列,472aa,568aa,则110aa。13、已知ABC得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.14、已知等比数列na为递增数列,且251021,2()5nnnaaaaa,则数列的通项公式na_____.15、等比数列{na}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=_______16、等比数列na的前n项和为nS,公比不为1。若11a,且对任意的*nN都有2120nnnaaa,则5S____。17、在等比数列{}na中，112a，44a，则公比q=_____；nS=__________.-7-18、已知{}na是等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=______19、若等比数列{}na满足anan+1=16n，则公比为。20、设数列{}na的前n项和2nSn，则8a的值为。二、解答题1、已知{}na为等差数列,且13248,12,aaaa(Ⅰ)求数列{}na的通项公式;(Ⅱ)记{}na的前n项和为nS,若12,,kkaaS成等比数列,求正整数k的值.2、已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{an}的前k项和435S，求k的值．3、设{}na是公比为正数的等比数列，12a，324aa。（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设{}nb是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}nnab的前n项和ns。4、已知等差数列na满足：37a，5726aa.na的前n项和为nS.-8-（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）令211nnba（nN）,求数列nb的前n项和nT.5、已知na是首项为19，公差为-2的等差数列，nS为na的前n项和.（Ⅰ）求通项na及nS；（Ⅱ）设nnba是首项为1，公比为3的等比数列，求数列nb的通项公式及其前n项和nT.6、{an}的前n项和为Sn,且Sn=22nn,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.(1)求an,bn;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.7、已知na是等差数列,其前n项和为nS,nb是等比数列,且114444,27,=10ababSb.(I)求数列na与nb的通项公式;(II)记1122=+++nnnTababab(*nN)证明:*118(,2)nnnTabnNn.8、（2012广东高考）设数列na的前n项和为nS,数列nS的前n项和为nT,满足22nnTSn,n*N.(Ⅰ)求1a的值;(Ⅱ)求数列na的通项公式.