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第1页(共24页)2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣6<0},集合B={x|x﹣1>0},则(∁RA)∩B=()A.(1,3)B.(1,3]C.[3,+∞)D.(3,+∞)2.(5分)设复数z满足(z+2i)•i=3﹣4i,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a8=15﹣a5,则S9等于()A.18B.36C.45D.604.(5分)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC.若m∥α,n∥α,且m⊂β,n⊂β,则α∥βD.若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n5.(5分)(x2+2)()5的展开式的常数项是()A.﹣3B.﹣2C.2D.36.(5分)已知x1=1n,x2=e,x3满足e=lnx3,则下列各选项正确的是()A.x1<x3<x2B.x1<x2<x3C.x2<x1<x3D.x3<x1<x27.(5分)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:3可表示为“≡”,26可表示为“=⊥”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为()A.13B.14C.15D.16第2页(共24页)8.(5分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,则=()A.B.C.D.9.(5分)函数图象的大致形状是()A.B.C.D.10.(5分)2位男生和3位女生共5位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()A.72B.60C.36D.2411.(5分)已知函数f(x)=sin(2x﹣),若方程f(x)=的解为x1,x2(0<x1<x2<π),则sin(x1﹣x2)=()A.B.C.D.12.(5分)已知函数f(x)=(k+)lnx+,k∈[1,+∞),曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1),N(x2,y2)使曲线y=f(x)在M、N两点处的切线互相平行,则x1+x2的取值范围为()A.[4,+∞)B.(4,+∞)C.[)D.()二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.(5分)已知数列{an}满足a1=1,an=1+a1+…+an﹣1(n∈N*,n≥2),则当n≥1时,an=.第3页(共24页)14.(5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx+cosx取得最大值,则tan(θ+)=.15.(5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a﹣b=.16.(5分)在三棱锥S﹣ABC中,SB=SC=AB=BC=AC=2,侧面SBC与底面ABC垂直,则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)在锐角△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,且cos2A+sin(﹣A)+1=0.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面积S=3,b=3.求sinC的值.18.(12分)在等比数列{an}中,公比q∈(0,1),且满足a4=2,a32+2a2a6+a3a7=25.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,当取最大值时,求n的值.19.(12分)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为的菱形,∠BCD=60°,AC与BD交于点O,平面FBC⊥平面ABCD,EF∥AB,FB=FC,EF=.(1)求证:OE⊥平面ABCD;(2)若△FBC为等边三角形,点Q为AE的中点,求二面角Q﹣BC﹣A的余弦值.20.(12分)某种规格的矩形瓷砖(600mm×600mm)根据长期检测结果,各厂生产的每片瓷砖质量x(kg)都服从正态分布N(μ,σ2),并把质量在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的瓷砖作为废品直接回炉处理,剩下的称为正品.(1)从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查,求至少有1片是废品的概率;第4页(共24页)(2)若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为:设矩形瓷砖的长与宽分别为a(mm)、b(mm),则“尺寸误差”(mm)为|a﹣600|+|b﹣600|,按行业生产标准,其中“优等”、“一级”“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是[0,0.2]、(0.2,0.5],(0.5,1.0](正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm的瓷砖),每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元,现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖,相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下,用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率.尺寸误差00.10.20.30.40.50.6频数103030510510(甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表)(i)记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为ξ(元),求ξ的分布列.(ii)由图可知,乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种,求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率.附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974;0.997410≈0.9743,0.84=0.4096,0.85=0.3276821.(12分)已知函数.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若存在成立,求整数a的最小值.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线l的极坐第5页(共24页)标方程为ρcos()=2.(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程;(2)直线l与y轴的交点为P,经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点,证明:|PA|•|PB|为定值.[选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知函数f(x)=|x﹣1|+|2x+m|(m∈R).(1)若m=2时,解不等式f(x)≤3;(2)若关于x的不等式f(x)≤|2x﹣3|在x∈[0,1]上有解,求实数m的取值范围.第6页(共24页)2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣6<0},集合B={x|x﹣1>0},则(∁RA)∩B=()A.(1,3)B.(1,3]C.[3,+∞)D.(3,+∞)【分析】先确定A,再求出∁RA,而后可求(∁RA)∩B.【解答】解:A={x|﹣2<x<3},∁RA={x|x≤﹣2或x≥3},(∁RA)∩B={x|x≥3}=[3,+∞).故选:C.【点评】此题考查了交、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.2.(5分)设复数z满足(z+2i)•i=3﹣4i,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】利用复数的运算法则,进行正确的计算即可.【解答】解:设复数z=a+bi,∴(z+2i)•i=ai﹣(b+2)=3﹣4i⇒b+2=﹣3,a=﹣4;∴a=﹣4,b=﹣5;∴复数z=﹣4﹣5i,∴,复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B.【点评】本题考查了复数代数式形式的乘除运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.3.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a8=15﹣a5,则S9等于()A.18B.36C.45D.60【分析】由等差数列的通项公式知a2+a8=15﹣a5⇒a5=5,再由等差数列的前n项和公式知S9=×2a5.【解答】解:∵a2+a8=15﹣a5,∴a5=5,第7页(共24页)∴S9=×2a5=45.故选:C.【点评】本题考查等差数列的性质和应用,解题时要注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用.4.(5分)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC.若m∥α,n∥α,且m⊂β,n⊂β,则α∥βD.若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n【分析】在A中,m与n相交、平行或异面;在B中,α与β相交或平行;在C中,α与β相交或平行;在D中,由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n.【解答】解:由m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,知:在A中,若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故A错误;在B中,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行,故B错误;在C中,若m∥α,n∥α,且m⊂β,n⊂β,则α与β相交或平行,故C错误;在D中,若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n,故D正确.故选:D.【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.5.(5分)(x2+2)()5的展开式的常数项是()A.﹣3B.﹣2C.2D.3【分析】(x2+2)()5的展开式的常数项是第一个因式取x2,第二个因式取;第一个因式取2,第二个因式取(﹣1)5,故可得结论.【解答】解:第一个因式取x2,第二个因式取,可得=5;第一个因式取2,第二个因式取(﹣1)5,可得2×(﹣1)5=﹣2∴(x2+2)()5的展开式的常数项是5+(﹣2)=3第8页(共24页)故选:D.【点评】本题考查二项式定理的运用,解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径.6.(5分)已知x1=1n,x2=e,x3满足e=lnx3,则下列各选项正确的是()A.x1<x3<x2B.x1<x2<x3C.x2<x1<x3D.x3<x1<x2【分析】本题可以选择0,1两个中间值采用搭桥法处理.【解答】解:依题意,因为y=lnx为(0,+∞)上的增函数,所以x1=1n<ln1=0;应为y=ex为R上的增函数,且ex>0,所以0<x2=e,<e0=1;x3满足e=lnx3,所以x3>0,所以>0,所以lnx3>0=ln1,又因为y=lnx为(0,+∞)的增函数,所以x3>1,综上:x1<x2<x3.故选:B.【点评】本题考查了指数函数,对数函数的单调性,函数值的大小比较等,属于中档题.7.(5分)中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:3可表示为“≡”,26可表示为“=⊥”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为()A.13B.14C.15D.16【分析】根据题意,分析可得6根算筹可以表示的数字组合,进而分析每个组合表示的两位数个数,由加法原理分析可得答案.【解答】解:根据题意,现有6根算筹,可以表示的数字组合为1、5,1、9,2、4,2、第9页(共24页)8,6、4,6、8,3、3,3、7,7、7;数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中,每组可以表示2个两位数,则可以表示2×7=14个两位数;数字组合3、3,7、7,每组可以表示2个两位数,则可以表示2×2=4个两位数;则一共可以表示12+4=16个两位数;故选:D.【点评】本题考查排列、组合的应用,关键是理解算筹的定义.8.(5分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,则=()A.B.C.D.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