江苏省南通市通州区2019届高三数学上学期期末考试试题文含解析

江苏省南通市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合2，，，则等于A.B.C.1，2，D.0，1，2，【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A，B，由此能求出．【详解】集合2，，，．故选：B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.已知向量，，若，则实数a的值为A.B.2或C.或1D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得，解可得a的值，即可得答案．【详解】根据题意，向量，，若，则有，解可得或1；故选：C．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示方法，熟记平行的坐标表示公式得到关于a的方程是关键，是基础题3.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于A.B.8C.D.．【答案】A【解析】【分析】根据条件即可得出，从而选A．【详解】是定义在R上的奇函数，且当时，；．故选：A．【点睛】本题考查奇函数的应用，熟记奇函数定义是关键，是基础题4.执行如图的程序框图，如果输出a的值大于100，那么判断框内的条件为A.？B.？C.？D.？【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】由题意，模拟程序的运算，可得，满足判断框内的条件，执行循环体，，满足判断框内的条件，执行循环体，，满足判断框内的条件，执行循环体，，此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为170．则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为？故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.已知，，，则a,b,c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：因为，所以由指数函数的性质可得，，因此,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题.多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.6.“”是“直线与圆相切”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线和圆相切的等价条件求出k的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，得，得，，即“”是“直线与圆相切”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A.24B.28C.D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图知该几何体是正方体和正四棱锥的组合体，结合图中数据求出该几何体的表面积．【详解】根据三视图知，该几何体是下部为正方体，上部为正四棱锥的组合体，画出直观图如图所示；则该几何体的表面积是．故选：C．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积应用问题，准确还原图形，熟记表面积公式是关键，基础题．8.如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O按逆时针方向旋转至在旋转的过程中，记为x，OP所经过的正方形ABCD内部的区域阴影部分的面积为对于函数给出以下4个结论：；函数在为减函数；；的图象关于直线对称．其中正确结论的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由图形可得函数的解析式，再分别判断，即可得出结论．【详解】当时，；当，在中，；当时，；当时，同理可得，当时，．于是可得：，正确；当时，由，为增函数．当时，，为增函数，因此不正确．，由函数的解析式和图形，利用对称性可得：，因此正确；，的图象关于点对称，故不正确．故选：B．【点睛】本题考查了函数的应用，图形面积的计算、正切函数的单调性、简易逻辑的判定，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数的虚部为______．【答案】1【解析】【分析】化简复数为的形式，即可得到结果．【详解】复数．复数的虚部为：1．故答案为：1．【点睛】本题考查复数的基本概念，考查计算能力，熟记基本概念是关键，是基础题.10.若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则______．【答案】【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式列出方程求解即可．【详解】双曲线的一条渐近线方程为：，点到双曲线的一条渐近线的距离为1，可得：，解得．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线的求法，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．11.已知x，y满足不等式组，则的最小值等于______．【答案】2【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由，得，平移直线，由图象知当直线经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，得，即，此时，故答案为：2．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义结合图象，利用数形结合是解决本题的关键．12.若锐角的面积为，且，则等于.【答案】【解析】由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题．13.对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．【答案】【解析】【分析】设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，根据勾股定理，以及基本不等式的性质进行求解即可．【详解】设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，由题意知，则，则三角形的面积，，，则三角形的面积，当且仅当a=b=取等即这个直角三角形面积的最大值等于，故答案为：．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查三角形面积的计算，利用基本不等式的性质结合勾股定理，三角形的面积公式是解决本题的关键．14.已知函数若函数有且只有一个零点，则实数k的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据函数零点与方程根的关系，转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【详解】由数有且只有一个零点，等价为数，即有且只有一个根，即函数与，只有一个交点，作出函数的图象如图：，，要使函数与，只有一个交点，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合函数零点个数问题转化为两个函数的图象交点个数是解决本题的关键，注意利用数形结合．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数．1求的最小正周期；2求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】1利用两角和与差公式和二倍角公式化简函数，可得最小正周期；由x的范围结合正弦函数的图象，得出函数的最大值和最小值．【详解】1．所以的最小正周期为．2因为，所以．当，即时，取得最大值1；当，即时，取得最小值．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换的应用，以及三角函数的性质，熟记公式，准确计算是关键，属于基础题．16.已知数列的前4项依次成公比为q的等比数列，从第3项开始依次成等差数列，且，．1求q及的值；2求数列的前n项和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】1由得，从而得，从而得，从而得；2分时，时，时分别求即可．【详解】1因为数列的前4项依次成等比数列，所以，即，所以，从而，因为数列从第3项开始各项依次为等差数列，设公差为d，所以，从而，所以，；2由1知，．当时，，当时，，当时，，此式对也成立．综上所述，．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长，共设13座车站目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价单位：元如下：四惠333344455555四惠东33344455555高碑店3334444555传媒333444455大学双桥33344444管庄3333444八里桥333344通州北苑33333果园3333九棵树333梨园33临河里3土桥四惠四惠东高碑店传媒大学双桥管庄八里桥通州北苑果园九棵树梨园临河里土桥1在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价为5元的概率；2在土桥出站口随机调查了n名下车的乘客，将在八通线各站上车情况统计如下表：上车站点通州北苑果园九棵树梨园临河里双桥管庄八里桥四惠四惠东高碑店传媒大学频率ab人数c1525求a，b，c，n的值，并计算这n名乘客乘车平均消费金额；3某人从四惠站上车乘坐八通线到土桥站，中途任选一站出站一次，之后再从该站乘车若想两次乘车花费总金额最少，可以选择中途哪站下车？写出一个即可【答案】（1）；（2）4.3；（3）见解析【解析】【分析】记两站间票价5元为事件在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为个，事件A中基本事件数为15个由此能求出两站间票价为5元的概率．2由表格数据知，从而，由此能求出a，b，c，n的值，并能求出这n名乘客乘车平均消费金额．3双桥，通州北苑写出一个即可．【详解】记两站间票价5元为事件A．在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为个，事件A中基本事件数为15个．所以两站间票价为5元的概率2由表格数据知，所以，即．所以，，记n名乘客乘车平均消费金额为，则3双桥，通州北苑写出一个即可【点睛】本题考查概率、实数值、平均数、最低消费的求法，考查频率分布表、列举法、平均数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.如图，在三棱柱中，底面ABC，是边长为2的正三角形，，E，F分别为BC，的中点．1求证：平面平面；2求三棱锥的体积；3在线段上是否存在一点M，使直线MF与平面没有公共点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】1推导出，，由，得，从而平面，由此能证明平面平面C.2由，能求出三棱锥的体积．3取中点M，连结MF，推导出，由此能求出线段上是否存在中点M，使直线MF与平面没有公共点，此时．【详解】证明：1在三棱柱中，因为为等边三角形，E为BC中点，所以又平面ABC，平面ABC，所以．因为，所以因为，平面，平面，所以平面C.所以平面平面C.2，取的中点D，连结DE，则，，所以平面，又F是的中点，所以，所以，即三棱锥的体积为3在线段上存在一点M，满足题意．理由如下：取中点M，连结因为F是的中点，所以MF是的中位线，所以E.因为平面，平面，所以平面，即直线MF与平面没有公共点此时【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查的三棱柱的体积的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于，两点，且．若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)y=x-1【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆C：1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为，列方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，yP），由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l的方程．